Application linéaire

Application linéaire#

Dans toute la suite, sauf indication contraire, un espace vectoriel désignera un espace vectoriel réel.

Definition 10

Une application $A$ d’un espace vectoriel $E$ vers un espace vectoriel $F$ est une application linéaire si

$A(\mathbf{x}_{1}+\mathbf{x}_{2}) = A(\mathbf{x}_{1}) + A(\mathbf{x}_{2})$ pour tout $\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2}\in E$.
$A(\lambda\mathbf{x})= \lambda A(\mathbf{x})$ pour tout $\mathbf{x}\in E$ et tout scalaire $\lambda\in\mathbb{R}$.

Pour désigner une application linéaire, on lit parfois homomorphisme, dans un langage plus “savant”, car une application linéaire préserve la structure d’espace vectoriel :

Soit une application linéaire d’un espace vectoriel $E$ vers un espace vectoriel $F$, alors

l’image de $A$, noté $Im(A)$, est un sous espace vectoriel de $F$.
le noyau de $A$, noté $Ker(A)$, est un sous espace vectoriel de $E$.

Example

L’application $A$ faisant correspondre à toute fonction $f\in E=\{ \mbox{fonction dérivable dans un ouvert }\Omega\subset\mathbb{R}^d\}$, sa fonction dérivée $f^\prime$ est une application linéaire de $E$ vers $F$, l’ensemble des fonctions continue sur $\Omega$ :

\[ \forall f\in E,\quad A(f) = f^\prime\in F \]

On remarque que

$Ker(A) = \{\mbox{fonctions constantes}\}$
$Im(A) = F$

On note souvent $A\mathbf{x}$, l’image d’un vecteur $\mathbf{x}$ par une application linéaire $A$, au lieu de $A(\mathbf{x})$. C’est essentiellement parce qu’en représentation matricielle (voir plus loin) l’application (linéaire) correspond à un produit de matrice.

Remarquons que si $A$ est une application linéaire alors on a nécessairement $$A(\mathbf{0}) = \mathbf{0}.$$

Proposition 4

Une application linéaire est entièrement déterminée par les images des vecteurs d’une base de l’espace de départ.

En effet, si $(\mathbf{x}_{1},\dots,\mathbf{x}_{n})$ est une base de $E$ alors tout vecteur $\mathbf{x}$ se décompose de manière unique

\[ \mathbf{x}= \sum_{i=1}^{i=n} \alpha_{i}\mathbf{x}_{i}. \]

Alors la linéarité de $A$ permet de calculer $A(\mathbf{x})$ à partir des vecteurs $A(\mathbf{x}_{i})$ :

\[ A(\mathbf{x})= \sum_{i=1}^{i=n} \alpha_{i}A(\mathbf{x}_{i}). \]

Opérateurs linéaires#

Dans le cas particulier où l’espace d’arrivée est le même que l’espace de départ, on parle d’opérateur :

Definition 11

Un opérateur linéaire sur un espace vectoriel $E$ est une application linéaire définie sur $E$ à image dans le même espace $E$; on lit aussi endomorphisme sur $E$.

Definition 12

Si un opérateur linéaire $A$ sur $E$ établit une bijection de $E$ vers $E$, on dit que $A$ est inversible.

On peut alors définir l’opérateur linéaire réciproque $A^{-1}$ sur $E$:

\[ A^{-1}( A\mathbf{x})= \mathbf{x}. \]

On a également $A ( A^{-1}\mathbf{x})= \mathbf{x}$ et $A^{-1}$ est linéaire.

Theorem 5

Soit $A$ un opérateur linéaire sur un espace vectoriel de dimension finie $E$, alors les conditions suivantes sont équivalentes:

A est injectif
A est surjectif
A est bijectif

Preuve

Supposons que $X$ soit de dimension égale à $n$ et soit $(\mathbf{x}_{1},\dots,\mathbf{x}_{n})$ une base de $X$. D’après la linéarité de $A$, l’image de $A$ est engendré par le système de $n$ vecteurs $S= (A\mathbf{x}_{1},\dots,A\mathbf{x}_{n})$, on en déduit que $S$ engendre $X$ (autrement dit que $A$ est surjectif) si $S$ est un système libre.

Montrons que si $A$ est injectif alors $A$ est surjectif.

Si $A$ est injectif, cela signifie que $A\mathbf{x}=0 \Longrightarrow \mathbf{x}=0$. Or si

\[ \sum_{i=1}^{i=n} \alpha_{i}\mathbf{x}_{i} =0 \]

on a par linéarité de $A$

\[ A\left( \sum_{i=1}^{i=n} \alpha_{i}\mathbf{x}_{i}\right) =0\Longrightarrow \sum_{i=1}^{i=n} \alpha_{i}\mathbf{x}_{i}=0 \]

mais comme les $\mathbf{x}_{i}$ sont une famille libre, on obtient que les coefficients $\alpha_{i}$ sont nécessairement tous nuls. Autrement dit que le système $S$ est libre.

Réciproquement, montrons que si $A$ est surjectif alors $A$ est injectif.

Si $A$ est surjectif cela signifie que le système $S$ est libre. Alors si $\mathbf{x}= \sum \alpha_{i}\mathbf{x}_{i}$ annule l’opérateur $A$ : $A\mathbf{x} = 0$, alors par linéarité on a

\[ 0= A(\mathbf{x}) = A \left(\sum_{i=1}^{i=n} \alpha_{i} \mathbf{x}_{i}\right) = \sum_{i=1}^{i=n} \alpha_{i} A (\mathbf{x}_{i}) \]

mais puisque $S$ est une famille libre, cela signifie que les coefficients $\alpha_{i}$ sont tous nuls, autrement dit que $\mathbf{x}$ est nécessairement nul, ce qui prouve que $A$ est injectif.

Encore quelques définitions :

Definition 13

On note ${\mathscr L}(E,F)$ l’ensemble des applications linéaires d’un espace vectoriel $E$ vers un espace vectoriel $F$.

Si $A_{1}$ et $A_{2}$ sont dans ${\mathscr L}(E,F)$ et si $\alpha_{1}$ et $\alpha_{2}$ sont deux scalaires, on définit l’application $\alpha_{1}A_{1} + \alpha_{2}A_{2}$ par

\[ (\alpha_{1}A_{1} + \alpha_{2}A_{2}) \mathbf{x} = \alpha_{1}A_{1} \mathbf{x} + \alpha_{2}A_{2}\mathbf{x}, \qquad \mathbf{x}\in E. \]

Naturellement on a $(\alpha_{1}A_{1} + \alpha_{2}A_{2})\in {\mathscr L}(E,F)$.

Proposition 5

${\mathscr L}(E,F)$ possède également une structure d’espace vectoriel.

Cas des opérateurs linéaires

Dans le cas des opérateurs linéaires, au lieu de ${\mathscr L}(E,E)$ on écrit plus simplement ${\mathscr L}(E)$.

Definition 14

Si $E$, $F$ et $Z$ sont trois espaces vectoriels et si $A\in {\mathscr L}(E,F)$, $B\in {\mathscr L}(F,Z)$, on définit leur produit $BA$ comme étant la composée de $A$ et $B$ :

\[ (BA)\mathbf{x}= B(A \mathbf{x}) \qquad \mathbf{x}\in E. \]

On a alors $BA \in {\mathscr L}(E,Z)$.

Warning

Attention même si $E=F=Z$, le produit d’opérateurs linéaires ne commute pas, i.e.

\[ AB\neq BA \quad\mbox{en général.} \]

Definition 15

Pour $A \in{\mathscr L}(\mathbb{R}^{n}, \mathbb{R}^{m})$, on peut définir une norme de $A$ par le sup de tous les vecteurs $\|{A\mathbf{x}}\|$ quand $\mathbf{x}$ parcourt la boule unité de $\mathbb{R}^{n}$ centrée en 0 :

\[ \|{A}\|= \sup_{\|{\mathbf{x}}\|=1} \|{A\mathbf{x}}\|. \]

Par linéarité, on a alors toujours l’inégalité :

\[ \|{A\mathbf{x}}\| \leq \|{A}\|\|{\mathbf{x}}\|. \]

Theorem 6

Si $A\in{\mathscr L}(\mathbb{R}^{n}, \mathbb{R}^{m})$ alors $\|{A}\| < +\infty$ et $A$ est une application uniformément continue sur $\mathbb{R}^{n}$.
Si $A,B \in{\mathscr L}(\mathbb{R}^{n}, \mathbb{R}^{m})$ et si $\alpha$ est un scalaire alors

\[ \|{A+B}\| \leq \|{A}\|+ \|{B}\| \qquad \|{\alpha A}\| = \|{\alpha}\|{A}\|. \]
Si $A \in{\mathscr L}(\mathbb{R}^{n}, \mathbb{R}^{m})$ et $B \in{\mathscr L}(\mathbb{R}^{m}, \mathbb{R}^{p})$ alors

\[ \|{BA}\| \leq \|{A}\| \|{B}\|. \]

Preuve

Soit $\mathbf{x}$ un vecteur tel que $\|{\mathbf{x}}\|=1$. $\mathbf{x}$ se décompose dans la base canonique sous la forme

\[ \mathbf{x}=\sum_{i=1}^{i=n}\alpha_{i}\mathbf{e}_{i}. \]

Puisque

\[ \|{\mathbf{x}}\|=\left({\sum_{i=1}^{i=n}\alpha_{i}^{2}}\right)^{1/2}=1. \]

On a alors nécessairement $\|{\alpha_{i}}\leq 1$, d’où

\[ \|{A\mathbf{x}}\|= \|{\sum_{i=1}^{i=n}\alpha_{i}A(\mathbf{e}_{i})}\| \leq \sum_{i=1}^{i=n}\|{\alpha_{i}}\|{A\mathbf{e}_{i}}\| \leq \sum_{i=1}^{i=n}\|{A\mathbf{e}_{i}}\|\leq n < +\infty \]

Puisque nous avons pour tout $\mathbf{x}$, $\mathbf{y}\in \mathbb{R}^{n}$,

\[ \|A\mathbf{x}- A\mathbf{y}\| \leq \|{A}\|\|{\mathbf{x}-\mathbf{y}}\|, \]

on en déduit l’uniforme continuité.

De la linéarité de $A$, nous obtenons facilement

\[ \|{(A+B)\mathbf{x}}\| \leq \|{A(\mathbf{x})+B(\mathbf{x})}\| \leq \|{A(\mathbf{x})}\| + \|{B(\mathbf{x})}\| \leq (\|{A}\| +(\|{B}\|)\|{\mathbf{x}}\| \]

de même

\[ \|{\alpha A(\mathbf{x})}\| =\|{\alpha}\|{\mathbf{x}}\|. \]

Enfin, on a

\[ \|{(BA)\mathbf{x}}\| \leq \|{B(A\mathbf{x})}\| \leq \|{B}\|\|{A\mathbf{x}}\|\leq \|{B}\|\|{A}\| \|{\mathbf{x}}\| \]

Quelques exemples d’espaces vectoriels et d’applications linéaires#

On note $\mathbb{R}_{n}[X]$ l’ensemble des polynômes réels de degré $\leq n$.
L’espace des fonctions définies sur un intervalle de $\mathbb{R}$ (c’est un e.v. de dimension infinie)
L’ensemble des applications linéaires de $\mathbb{R}^{n}$ dans $\mathbb{R}^{m}$.
L’espace des matrices $n\times m$ (de dimension $mn$).
L’ensemble des solutions d’une équation différentielle ordinaire homogène linéaire à coefficients constants ou non (dimension finie).
L’ensemble des solutions d’une équation aux dérivée partielles linéaires homogène.

Exercice : Pour chacun de ces exemples donner un sous-espace vectoriel.

Application linéaire

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Opérateurs linéaires#

Quelques exemples d’espaces vectoriels et d’applications linéaires#