Conventions et notations

Dans ce document, nous serons parfois amené à utiliser quelques conventions de notations souvent empruntés à la mécanique.

En particulier nous utiliserons la convention de sommation par rapport aux indices répétés (on lit également convention d’Einstein) et nous noterons souvent les dérivées partielles à l’aide d’un indice précédé d’une virgule.

Notations

Nous n’avons pas cherché à faire dans l’originalité, ainsi dans tout le document

• \(\mathbb{R}\) désigne l’espace des nombres réels

• \(\mathbb{C}\) désigne l’espace des nombres complexes.

On désigne généralement par \(f\) ou \(g\) une fonction scalaire, c’est à dire à valeur dans \(\mathbb{R}\) (ou éventuellement \(\mathbb{C}\)).

Objets vectoriels et objets scalaires

Les objets vectoriels seront souvent désigné en gras et les objets scalaires en italiques :

Une fonction vectorielle \(\mathbf{u}\) dont les composantes sont notées \(u_i\)

\[\begin{split} \mathbf{u}= \begin{bmatrix} u_1\\ u_2\\ u_3 \end{bmatrix} \end{split}\]

Le symbole \(\Omega\) représentera généralement un domaine à bord régulier de \(\mathbb{R}^d\), où la dimension \(d\), en mécanique, désigne souvent les nombres 2 ou 3.

Convention de sommation suivant les indices répétés

La convention d’Einstein sur la sommation sur les indices ou exposants répétés est une convention destiné à alléger les écritures dans les formules mathématiques sans pour autant les rendre ambigu.

La convention implique une sommation sur des termes produits dés lors qu’ils présentent des indice répétés :

Ainsi, par exemple, pour \(\mathbf{x}=[x_1,x_2,\dots,x_n]^\top\) et \(\mathbf{y}=[y_1,y_2,\dots,y_n]^\top\), deux vecteurs de \(\mathbb{R}^n\), le produit scalaire :

\[ \langle\mathbf{x},\mathbf{y}\rangle = \sum_{i=1}^{n} {x_iy_i}, \]

où l’on remarque l’indice \(i\) qui apparaît répété, sera noté plus simplement :

\[ \langle\mathbf{x},\mathbf{y}\rangle = \textcolor{blue}{x_iy_i}. \]

De même pour un produit de matrices \(C = BA\) :

\[ c_{kj} = \sum_{i=1}^{m} b_{ki} a_{ij} \quad \longrightarrow \quad c_{kj} = \textcolor{blue}{b_{ki} a_{ij}}. \]

Si un vecteur \(\mathbf{x}\) a pour composantes \((x_1,x_2,..., x_n)\) dans la base \(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2,\dots,\mathbf{e}_n\), on écrit

\[ \mathbf{x}=\sum_{i=1}^{n}x_i\mathbf{e}_i \quad \longrightarrow \quad \mathbf{x}=\textcolor{blue}{x_i\mathbf{e}_i } \]

Si on note, dans \(\mathbb{R}^3\) le produit mixte des vecteurs de la base canonique :

\[ \varepsilon_{ijk} = (\mathbf{e}_i,\mathbf{e}_j,\mathbf{e}_k) = \mathbf{e}_i . (\mathbf{e}_j\wedge\mathbf{e}_k) \]

On peut écrire le produit mixte de trois vecteurs \(\mathbf{a}\), \(\mathbf{b}\) et \(\mathbf{c}\) par

\[ \begin{aligned} (\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}) = \sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} \sum_{k=1}^{3} \varepsilon_{ijk}a_ib_jc_k \quad \longrightarrow \quad (\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}) = \textcolor{blue}{\varepsilon_{ijk}a_ib_jc_k }, \end{aligned} \]

où on a appliqué la convention sur les trois indices répétés \(i\), \(j\) et \(k\).

Notation des dérivées partielles

En mathématiques appliquées, nous avons souvent affaire à des systèmes d’équations aux dérivées partielles (EDP). Ainsi pour alléger les notations on préférera utiliser la notation en indice précédé d’une virgule :

\[\begin{split} \begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x} &= f_{,x} \\ \frac{\partial u_i}{\partial x_j} &= u_{i,j}\\ \frac{\partial^2u_i}{\partial x_j\partial x_k} &= u_{i,jk}. \end{aligned} \end{split}\]

Si on considère une fonction scalaire \(f\) défini sur \(\Omega\subset\mathbb{R}^n\) (à valeur dans \(\mathbb{R}\)) alors pour toute direction \(\mathbf{h}= [h_1,h_2,\dots,h_n]^\top\), on écrit la dérivée de \(f\) dans la direction \(\mathbf{h}\):

\[ \begin{aligned} \mathbf{\nabla}{f(x)}(\mathbf{h}) = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_i}(x)h_i \quad \longrightarrow \quad \mathbf{\nabla}{f(x)}(\mathbf{h})= \textcolor{blue}{f_{,i}(x)h_i }. \end{aligned} \]

où on a également utilisé la convention de sommation suivant les indices répétés.

On notera que le symbole \(\nabla\) est écrit en gras, signifiant que c’est un objet vectoriel.

Indices et exposant Grecs ou Latins

Bien que la plupart des théories mathématique soit présentées dans un espace abstrait de dimension \(n\), en Mécanique ou en Physique, les problèmes sont généralement posés dans les variables spatiales.

C’est à dire qu’on travaille en dimension 3 ou en dimension 2 pour des modélisations (simplifications) dans le plan.

Il existe une pratique bien commode pour signifier si un problème est en dimension 2 ou 3 :

• l’utilisation réservée des indices et exposants Grecs en dimension 2,

• l’utilisation réservée des indices et exposants Latins en dimension 3.

Ainsi le système

\[ \textcolor{blue}{ \sigma_{ij,j}} + f_j =0 \quad i=\{1,2,3\} \]

identifie immédiatement un problème à trois dimension (avec une sommation sur \(j\)), tandis que dans

\[ \textcolor{green}{\sigma_{\alpha\beta,\beta}} + f_\alpha =0 \quad \alpha=\{1,2\} \]

on reconnait un problème à deux dimensions (avec une sommation sur \(\beta\)).