6  Calcul différentiel sur un tenseur d’ordre 2

En mécanique, un grand nombre d’objets apparaissent comme des tenseurs d’ordre 2 définis sur une partie de \(\mathbb{R}^{3}\), par exemple, le tenseur des contraintes, le tenseurs des déformations...

Ce chapitre a pour but d’en rappeler les définitions mathématiques et les éléments de calcul différentiel sur ces objets. Pour un exposé complet nous renvoyons à ([Lichnerowitz]?).

6.1 Tenseur d’ordre 2

Plaçons nous dans \(\mathbb{R}^{3}\) et considérons un tenseur \(\mathbb{M}\) d’ordre 2, c’est à dire un champ défini sur une partie \(\Omega\) de \(\mathbb{R}^{3}\) et à valeur dans \({\cal L}( \mathbb{R}^{3})\), l’ensemble des opérateurs linéaires sur \(\mathbb{R}^{3}\).

Ainsi, si \(({\mathbf{e}}_{1},{\mathbf{e}}_{2},{\mathbf{e}}_{3})\) désigne la base canonique de \(\mathbb{R}^{3}\), il est usuel d’exprimer un tenseur sous sa forme matricielle dans la base canonique en chaque point de \(\Omega\) où il est défini : \[\mathbb{M} = \begin{bmatrix} m_{11} & m_{12} & m_{13} \\ m_{21} & m_{22} & m_{23} \\ m_{31} & m_{32} & m_{33} \end{bmatrix}\] où chaque coefficient \(m_{ij}\) est une fonction scalaire défini sur \(\Omega\). Il est alors commode d’exprimer le tenseur comme une combinaison linéaire des applications linéaires canoniques, notées sous la forme d’un produit tensoriel \[{\mathbf{e}}_{i}\otimes{\mathbf{e}}_{j}\] dont la représentation matricielle est la matrice nulle partout sauf le coefficient de la \(i\)-ème ligne \(j\)-ème colonne qui vaut 1. Par exemple, \[{\mathbf{e}}_{1}\otimes{\mathbf{e}}_{2}= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.\] Ainsi, on écrit \[\mathbb{M} = \sum_{i= 1}^{3}\sum_{j= 1}^{3} m_{ij} {\mathbf{e}}_{i}\otimes {\mathbf{e}}_{j}.\]

6.2 Gradient d’un tenseur d’ordre 2

Par définition, la dérivée (ou le gradient) d’un tenseur en un point est un élément de \({\cal L}( \mathbb{R}^{3},{\cal L}( \mathbb{R}^{3}) )\). Or il existe une bijection naturelle entre \({\cal L}( \mathbb{R}^{3},{\cal L}( \mathbb{R}^{3}) )\) et \({\cal L}({\cal L}( \mathbb{R}^{3}), \mathbb{R}^{3})\).

D’autre part, dans la base canonique (base fixe), on a naturellement \[\frac{\partial{}}{\partial{x_{i}}}\mathbb{M}= \nabla{\mathbb{M}}\; {\mathbf{e}}_{i}.\] Ce qui signifie que le gradient d’un tenseur peut se décomposer \[\nabla{\mathbb{M} }\; = \frac{\partial{}}{\partial{x_{1}}}(\mathbb{M}) \otimes {\mathbf{e}}_{1} + \frac{\partial{}}{\partial{x_{2}}}(\mathbb{M}) \otimes {\mathbf{e}}_{2} + \frac{\partial{}}{\partial{x_{2}}}(\mathbb{M}) \otimes {\mathbf{e}}_{3}.\]

6.3 Divergence d’un tenseur d’ordre 2

La divergence d’un tenseur est donné par la formule de la divergence (voir le chapitre [chap:divergence]) : \[\int_{\Omega}\text{div}{\mathbb{M}}= \int_{\partial\Omega}\mathbb{M}{\mathbf{n}}.\] Nous savons alors que c’est un champ de vecteurs : \[\text{div}{\mathbb{M}}= \sum_{j=1}^{n}\begin{bmatrix} M_{1j,j}\\ M_{2j,j} \\ \vdots \\ M_{ij,j} \\ \vdots \\ M_{nj,j} \end{bmatrix}\] On remarque que \[\text{div}{\mathbb{M}}{\mathbf{e}}_i= \sum_{j=1}^{n}(\nabla \mathbb{M}{\mathbf{e}}_j)({\mathbf{e}}_i{\mathbf{e}}_j).\]

6.4 Tenseur en coordonnées cylindriques

Soit \(\mathbb{M}\) un tenseur d’ordre 2 définie sur une partie de \(\mathbb{R}^{3}\), alors \(\mathbb{M}\) se décompose en coordonnées cartésiennes : \[\mathbb{M} = \sum_{i= 1}^{3}\sum_{j= 1}^{3} m_{ij} {\mathbf{e}}_{i}\otimes {\mathbf{e}}_{j}.\] On a de même en coordonnées cylindriques \[\begin{aligned}\mathbb{M} &= m_{rr} {\mathbf{e}}_{r} \otimes {\mathbf{e}}_{r} + m_{r\theta}{\mathbf{e}}_{r} \otimes {\mathbf{e}}_{\theta} + m_{r3} {\mathbf{e}}_{r} \otimes {\mathbf{e}}_{3} \\ & +m_{\theta r} {\mathbf{e}}_{\theta} \otimes {\mathbf{e}}_{r} + m_{\theta\theta}{\mathbf{e}}_{\theta} \otimes {\mathbf{e}}_{\theta} + m_{\theta 3} {\mathbf{e}}_{\theta} \otimes {\mathbf{e}}_{3}\\& +m_{3r} {\mathbf{e}}_{3} \otimes {\mathbf{e}}_{r} + m_{3\theta} {\mathbf{e}}_{3} \otimes {\mathbf{e}}_{\theta} + m_{33} {\mathbf{e}}_{3} \otimes {\mathbf{e}}_{3}. \end{aligned}\] Or toutes les dérivées partielles sont nulles sauf \[\begin{aligned}& \frac{\partial{}}{\partial{\theta}} ({\mathbf{e}}_{r} \otimes {\mathbf{e}}_{r} ) = \frac{\partial{{\mathbf{e}}_{r}}}{\partial{\theta}} \otimes {\mathbf{e}}_{r} + {\mathbf{e}}_{r} \otimes\frac{\partial{{\mathbf{e}}_{r}}}{\partial{\theta}} = {\mathbf{e}}_{\theta} \otimes {\mathbf{e}}_{r} + {\mathbf{e}}_{r} \otimes {\mathbf{e}}_{\theta}, \\ & \frac{\partial{}}{\partial{\theta}} ( {\mathbf{e}}_{r} \otimes {\mathbf{e}}_{\theta} ) = \frac{\partial{{\mathbf{e}}_{r}}}{\partial{\theta}} \otimes {\mathbf{e}}_{\theta} + {\mathbf{e}}_{r} \otimes \frac{\partial{{\mathbf{e}}_{\theta}}}{\partial{\theta}} = {\mathbf{e}}_{\theta} \otimes {\mathbf{e}}_{\theta} - {\mathbf{e}}_{r} \otimes {\mathbf{e}}_{r}, \\ & \frac{\partial{}}{\partial{\theta}} ( {\mathbf{e}}_{r} \otimes {\mathbf{e}}_{3} ) = \frac{\partial{{\mathbf{e}}_{r}}}{\partial{\theta}} \otimes{\mathbf{e}}_{3} + {\mathbf{e}}_{r} \otimes \frac{\partial{{\mathbf{e}}_{3}}}{\partial{\theta}} = {\mathbf{e}}_{\theta} \otimes{\mathbf{e}}_{3}, \\ & \frac{\partial{}}{\partial{\theta}} ({\mathbf{e}}_{\theta} \otimes {\mathbf{e}}_{r}) = \frac{\partial{{\mathbf{e}}_{\theta}}}{\partial{\theta}} \otimes {\mathbf{e}}_{r} +{\mathbf{e}}_{\theta} \otimes \frac{\partial{{\mathbf{e}}_{r}}}{\partial{\theta}} = - {\mathbf{e}}_{r}\otimes {\mathbf{e}}_{r} + {\mathbf{e}}_{\theta} \otimes{\mathbf{e}}_{\theta},\\ &\frac{\partial{}}{\partial{\theta}}({\mathbf{e}}_{\theta} \otimes {\mathbf{e}}_{\theta}) = \frac{\partial{{\mathbf{e}}_{\theta}}}{\partial{\theta}} \otimes {\mathbf{e}}_{\theta} + {\mathbf{e}}_{\theta} \otimes \frac{\partial{{\mathbf{e}}_{\theta}}}{\partial{\theta}} = - {\mathbf{e}}_{r} \otimes {\mathbf{e}}_{\theta} - {\mathbf{e}}_{\theta} \otimes {\mathbf{e}}_{r}, \\ & \frac{\partial{}}{\partial{\theta}}({\mathbf{e}}_{\theta} \otimes {\mathbf{e}}_{3}) = \frac{\partial{{\mathbf{e}}_{\theta}}}{\partial{\theta}} \otimes {\mathbf{e}}_{3} + {\mathbf{e}}_{\theta} \otimes \frac{\partial{{\mathbf{e}}_{3}}}{\partial{\theta}} = - {\mathbf{e}}_{r} \otimes {\mathbf{e}}_{3}, \\ &\frac{\partial{}}{\partial{\theta}}( {\mathbf{e}}_{3} \otimes {\mathbf{e}}_{r}) = \frac{\partial{{\mathbf{e}}_{3}}}{\partial{\theta}} \otimes {\mathbf{e}}_{r} + {\mathbf{e}}_{3} \otimes \frac{\partial{{\mathbf{e}}_{r}}}{\partial{\theta}} = {\mathbf{e}}_{3} \otimes {\mathbf{e}}_{\theta}, \\ & \frac{\partial{}}{\partial{\theta}}({\mathbf{e}}_{3} \otimes {\mathbf{e}}_{\theta}) = \frac{\partial{{\mathbf{e}}_{3}}}{\partial{\theta}} \otimes {\mathbf{e}}_{\theta} + {\mathbf{e}}_{3} \otimes \frac{\partial{{\mathbf{e}}_{r}}}{\partial{\theta}} = -{\mathbf{e}}_{3} \otimes {\mathbf{e}}_{r}. \end{aligned}\] Mais le gradient est donné par \[\nabla{\mathbb{M}}\;= \frac{\partial{\mathbb{M}}}{\partial{r}} \otimes {\mathbf{e}}_{r} + \frac{1}{r} \frac{\partial{\mathbb{M}}}{\partial{\theta}} \otimes {\mathbf{e}}_{\theta} + \frac{\partial{\mathbb{M}}}{\partial{3}} \otimes {\mathbf{e}}_{3},\] d’où on tire l’expression du gradient de \(\mathbb{M}\) en coordonnées cylindriques : \[\begin{aligned} \nabla{\mathbb{M}}\;&= m_{rr,r} {\mathbf{e}}_{r} \otimes {\mathbf{e}}_{r} \otimes {\mathbf{e}}_{r} + m_{r\theta,r}{\mathbf{e}}_{r} \otimes {\mathbf{e}}_{\theta} \otimes {\mathbf{e}}_{r} + m_{r3,r} {\mathbf{e}}_{r} \otimes {\mathbf{e}}_{3} \otimes {\mathbf{e}}_{r} \\ & +m_{\theta r,r} {\mathbf{e}}_{\theta} \otimes {\mathbf{e}}_{r} \otimes {\mathbf{e}}_{r} + m_{\theta\theta,r}{\mathbf{e}}_{\theta} \otimes {\mathbf{e}}_{\theta}\otimes {\mathbf{e}}_{r} + m_{\theta 3,r} {\mathbf{e}}_{\theta} \otimes {\mathbf{e}}_{3} \otimes {\mathbf{e}}_{r}\\& +m_{3r,r} {\mathbf{e}}_{3} \otimes {\mathbf{e}}_{r} \otimes {\mathbf{e}}_{r} + m_{3\theta,r} {\mathbf{e}}_{3} \otimes {\mathbf{e}}_{\theta}\otimes {\mathbf{e}}_{r} + m_{33,r} {\mathbf{e}}_{3} \otimes {\mathbf{e}}_{3} \otimes {\mathbf{e}}_{r} \\&\begin{aligned} +\frac{1}{r}(m_{rr,\theta}-m_{r\theta}-m_{\theta r}) {\mathbf{e}}_{r} \otimes {\mathbf{e}}_{r} \otimes {\mathbf{e}}_{\theta} & +\frac{1}{r}(m_{r\theta,\theta}+m_{rr}-m_{\theta\theta}) {\mathbf{e}}_{r} \otimes {\mathbf{e}}_{\theta} \otimes {\mathbf{e}}_{\theta} \\& +\frac{1}{r}(m_{r3,\theta}-m_{\theta 3}) {\mathbf{e}}_{r} \otimes {\mathbf{e}}_{3} \otimes {\mathbf{e}}_{\theta} \\ +\frac{1}{r}(m_{\theta r,\theta}+m_{rr}-m_{\theta\theta}) {\mathbf{e}}_{\theta} \otimes {\mathbf{e}}_{r} \otimes {\mathbf{e}}_{\theta} & +\frac{1}{r}(m_{\theta\theta,\theta}+ m_{r\theta}+m_{\theta r} ){\mathbf{e}}_{\theta} \otimes {\mathbf{e}}_{\theta}\otimes {\mathbf{e}}_{\theta} \\& +\frac{1}{r}(m_{\theta 3,\theta}+m_{r3}) {\mathbf{e}}_{\theta} \otimes {\mathbf{e}}_{3} \otimes {\mathbf{e}}_{\theta} \\ +\frac{1}{r}(m_{3r,\theta} - m_{3\theta}) {\mathbf{e}}_{3} \otimes {\mathbf{e}}_{r} \otimes {\mathbf{e}}_{\theta} & +\frac{1}{r}(m_{3\theta,\theta} +m_{3r} ) {\mathbf{e}}_{3} \otimes {\mathbf{e}}_{\theta}\otimes {\mathbf{e}}_{\theta} \\& +\frac{1}{r} m_{33,\theta} {\mathbf{e}}_{3} \otimes {\mathbf{e}}_{3} \otimes {\mathbf{e}}_{\theta} \end{aligned} \\& +m_{rr,3} {\mathbf{e}}_{r} \otimes {\mathbf{e}}_{r} \otimes {\mathbf{e}}_{3} + m_{r\theta,3}{\mathbf{e}}_{r} \otimes {\mathbf{e}}_{\theta}\otimes {\mathbf{e}}_{3} + m_{r3,3} {\mathbf{e}}_{r} \otimes {\mathbf{e}}_{3} \otimes {\mathbf{e}}_{3}\\ & +m_{\theta r,3} {\mathbf{e}}_{\theta} \otimes {\mathbf{e}}_{r} \otimes {\mathbf{e}}_{3} + m_{\theta\theta,3}{\mathbf{e}}_{\theta} \otimes {\mathbf{e}}_{\theta} \otimes {\mathbf{e}}_{3} + m_{\theta 3,3} {\mathbf{e}}_{\theta} \otimes {\mathbf{e}}_{3} \otimes {\mathbf{e}}_{3}\\& +m_{3r,3} {\mathbf{e}}_{3} \otimes {\mathbf{e}}_{r} \otimes {\mathbf{e}}_{3} + m_{3\theta,3} {\mathbf{e}}_{3} \otimes {\mathbf{e}}_{\theta} \otimes {\mathbf{e}}_{3} + m_{33,3} {\mathbf{e}}_{3} \otimes {\mathbf{e}}_{3} \otimes {\mathbf{e}}_{3}. \end{aligned}\] C’est à dire, de façon légèrement plus lisible ;) : \[\begin{aligned} \nabla{ \mathbb{M}}\;{\mathbf{e}}_{r} &= \begin{bmatrix} m_{rr,r} & m_{r\theta,r} & m_{r3,r}\\ m_{\theta r,r} & m_{\theta\theta,r} & m_{\theta3,r}\\ m_{3r,r} & m_{3\theta,r} & m_{33,r} \end{bmatrix} \\ \nabla{ \mathbb{M}}\;{\mathbf{e}}_{\theta} &= \frac{1}{r} \begin{bmatrix} m_{rr,\theta}-m_{r\theta}-m_{\theta r} & m_{r\theta,\theta} +m_{rr}-m_{\theta\theta}& m_{r3,\theta}-m_{\theta 3}\\ m_{\theta r,\theta} +m_{rr}-m_{\theta\theta} & m_{\theta\theta,\theta}+m_{r\theta}+m_{\theta r} & m_{\theta 3,\theta} +m_{r3}\\ m_{3r,\theta}-m_{3\theta} & m_{3\theta,\theta}+m_{3r} & m_{33,\theta} \end{bmatrix} \\ \nabla{ \mathbb{M}}\;{\mathbf{e}}_{3} &= \begin{bmatrix} m_{rr,3} & m_{r\theta,3} & m_{r3,3}\\ m_{\theta r,3} & m_{\theta\theta,3} & m_{\theta3,3}\\ m_{3r,3} & m_{3\theta,3} & m_{33,3} \end{bmatrix} . \end{aligned}\]

La divergence d’un tenseur est définie comme précédemment : \[\begin{aligned} \text{div}{\mathbb{M}}{\mathbf{e}}_{r} &=\sum_{j=1}^3\nabla\mathbb{M}{\mathbf{e}}_j({\mathbf{e}}_r{\mathbf{e}}_j)\\ &= \nabla\mathbb{M}{\mathbf{e}}_r({\mathbf{e}}_r{\mathbf{e}}_r) + \nabla\mathbb{M}{\mathbf{e}}_\theta({\mathbf{e}}_r{\mathbf{e}}_\theta) + \nabla\mathbb{M}{\mathbf{e}}_z({\mathbf{e}}_r{\mathbf{e}}_z), \end{aligned}\] de même, on a : \[\begin{aligned} \text{div}{\mathbb{M}}{\mathbf{e}}_{\theta} &= \nabla\mathbb{M}{\mathbf{e}}_r({\mathbf{e}}_\theta{\mathbf{e}}_r) + \nabla\mathbb{M}{\mathbf{e}}_r({\mathbf{e}}_\theta{\mathbf{e}}_\theta) + \nabla\mathbb{M}{\mathbf{e}}_z({\mathbf{e}}_\theta{\mathbf{e}}_z), \end{aligned}\] et \[\begin{aligned} \text{div}{\mathbb{M}}{\mathbf{e}}_{r} &= \nabla\mathbb{M}{\mathbf{e}}_r({\mathbf{e}}_z{\mathbf{e}}_r) + \nabla\mathbb{M}{\mathbf{e}}_\theta({\mathbf{e}}_z{\mathbf{e}}_\theta) + \nabla\mathbb{M}{\mathbf{e}}_z({\mathbf{e}}_z{\mathbf{e}}_z). \end{aligned}\] On obtient donc finalement :

Proposition 6.1 La divergence d’un tenseur d’ordre 2 en coordonnées cylindrique \[[\text{div}{\mathbb{M}}]_{cyl} = \left( \begin{aligned} m_{rr,r} + \frac{1}{r}(m_{r\theta,\theta}+m_{rr}-m_{\theta\theta}) + m_{r3,3} \\ m_{\theta r,r} +\frac{1}{r}(m_{\theta\theta,\theta}+ m_{r\theta}+m_{\theta r} ) + m_{\theta 3,3} \\ m_{3r,r} +\frac{1}{r}(m_{3\theta,\theta} +m_{3r} ) + m_{33,3} \end{aligned}\right).\]

Il peut être parfois avantageux de le récrire sous la forme suivante : \[[\text{div}{\mathbb{M}}]_{cyl} = \left( \begin{aligned}& \frac{1}{r}\frac{\partial{}}{\partial{r}}(rm_{rr}) &+ \frac{1}{r}\frac{\partial{}}{\partial{\theta}}(m_{r\theta}) &+ \frac{\partial{}}{\partial{x_{3}}} (m_{r3})-\frac{1}{r} m_{\theta\theta} \\& \frac{1}{r^{2}}\frac{\partial{}}{\partial{r}} (r^{2}m_{\theta r}) &+\frac{1}{r}\frac{\partial{}}{\partial{\theta}} (m_{\theta\theta}) &+ \frac{\partial{}}{\partial{x_{3}}}(m_{\theta 3})+ \frac{1}{r}(m_{r\theta}-m_{\theta r} ) \\ & \frac{\partial{}}{\partial{r}}(m_{3r}) &+\frac{1}{r}\frac{\partial{}}{\partial{\theta}}(m_{3\theta}) &+ \frac{\partial{}}{\partial{x_{3}}}(m_{33}) +\frac{1}{r} m_{3r} \end{aligned}\right)\]

6.5 Tenseur en coordonnées sphériques

A compléter... par le lecteur ? \(\hat{}\)-\(\hat{}\)