4 Intégrale de Riemann
On se propose dans cette section de rappeler la définitions et les principales propriétés de l’intégrale de Riemann. Ce sont des résultats et définitions qui sont connus depuis le Secondaire, mais une mise au point sur cette théorie est utile en vue du théorème de Stokes ou de la théorie de Lebesgue. On notera qu’il n’existe pas à proprement parler d’une définition de l’intégrale, il y en existe plusieures : intégrales de Riemann, de Stieljes, de Lebesgue. On parle plutôt de notion d’intégrale.
4.1 Définition de l’intégrale de Riemann
Soit \([a,b]\) un intervalle de \(\mathbb{R}\) et soit \(\{x_{0}, \dots, x_{n+1}\}\) une subdivision ordonnée de \([a,b]\) : \[a= x_{0}\leq x_{1} \leq \dots \leq\ x_{n+1}=b\] On supposera de plus que \(\max_{k}(x_{k+1}- x_{k})\) tends vers 0 lorsque n tends vers l’infini.
On pose pour toute fonction \(f\) définie sur \([a,b]\) : \[\overline{I}_{n}(f)= \sum_{k=0}^{n} \sup_{x\in[x_{k},x_{k+1}]}f(x)(x_{k+1}- x_{k})\] \[\underline{I}_{n}(f)= \sum_{k=0}^{n} \inf_{x\in[x_{k},x_{k+1}]}f(x)(x_{k+1}- x_{k})\]
Definition 4.1 Soit \(f\) une définie sur \([a,b]\), on dit qu’elle est Riemann-intégrable si pour toute subdivision ordonnée, \[\lim_{n\rightarrow \infty}\overline{I}_{n}(f) = \lim_{n\rightarrow \infty}\underline{I}_{n}(f)\] On note alors l’intégrale de \(f\) sur \([a,b]\) par \[\int_{a}^{b}f(x)dx = \lim_{n\rightarrow \infty}\overline{I}_{n}(f) = \lim_{n\rightarrow \infty}\underline{I}_{n}(f).\]
Theorem 4.1 Une condition suffisante pour qu’une fonction soit Rieman-intégrable est qu’elle soit continue, ou continue par morceaux.
4.2 Principales propriétés
Proposition 4.1 Si \(f\) et \(g\) sont Riemann-intégrables alors \(f+g\) l’est également.
Proposition 4.2 Si \(f\) et \(g\) sont Riemann-intégrables alors \(fg\) l’est également.
Proposition 4.3 Si \(f(x) \leq g(x) \; \forall x\in [a,b]\) alors \[\int_{a}^{b}f(x)dx \leq \int_{a}^{b}g(x)dx.\]
Proposition 4.4 Relation de Chasles – Si \(f\) est Riemann-intégrable sur \(I\subset\mathbb{R}\), \[\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx\quad\forall a,b,c\in I\]
Proposition 4.5 Si \(f\) et \(g\) sont Riemann-intégrables sur \([a,b]\) et que \(c\) est une constante, alors \[\begin{aligned} \int_{a}^{b}cf(x)dx&=c\int_{a}^{b}f(x)dx\\ \int_{a}^{b}(f(x)+g(x))dx &= \int_{a}^{b}f(x)dx +\int_{a}^{b}g(x)dx \end{aligned}\]
On retiendra en particulier que l’opérateur intégrale est une forme linéaire sur l’ensemble des fonctions Riemann-intégrables.
Proposition 4.6 Si \(\left|{f}\right|\) est Riemann-intégrable sur \([a,b]\) alors, \[\left|{\int_{a}^{b}f(x)dx}\right|\leq \int_{a}^{b}\left|{f(x)}\right|dx\]
On retiendra tout particulièrement le résultat fondamental :
Theorem 4.2 Changement de variable – Soit f une fonction Riemann-intégrable sur \([a,b]\) et \(\varphi\) une fonction dérivable définie sur \([A,B]\) et telle que \(\varphi(A)=a\) et \(\varphi(B)=b\) \[\int_{a}^{b}f(x)dx = \int_{A}^{B} f(\varphi(y))\varphi^{\prime}(y)dy\]
4.3 Intégration et dérivation
Proposition 4.7 soit \(f\) une fonction Riemann-intégrable et soit \(F\) la fonction définie par \[F(x) = \int_{a}^{x}f(t)dt\] Alors, \(F\) est une fonction continue et dérivable : on a de plus \(F^{\prime}(x)=f(x)\).
Theorem 4.3 Théorème fondamental – Soit \(f\) une fonction Riemann-intégrable sur \([a,b]\), si \(F^{\prime}(x)=f(x)\), alors \[F(b)-F(a)=\int_{a}^{b}f(x)dx\]
Corollary 4.1 Intégration par partie – Soient \(u\) et \(v\) deux fonctions dérivables sur \([a,b]\). \[u(b)v(b)-u(a)v(a)= \int_{a}^{b} u^{\prime}(x)v(x)dx + \int_{a}^{b} v^{\prime}(x)u(x)dx\]
4.4 Formule intégrale de Taylor
Theorem 4.4 \[f(x_{0}+h)=f(x_{0})+f^{\prime}(x_{0})h+ \frac{1}{2}f^{\prime\prime}(x_{0})h.h + \dots + \frac{1}{n}f^{(n)}(x_{0})(h)^{n} + \int_{0}^{1}\frac{(1-t)^{n}}{n!} f^{(n+1)}(x_{0}+th)(h)^{n+1}dt\]
4.5 Intégrale sur un contour
Soit \(C\) une courbe de \(\mathbb{R}^{n}\) définie par une carte \(({\mathbf{c}},I)\) où \(I=[a,b]\) est un intervalle de \(\mathbb{R}\) et \({\mathbf{c}}\) est une application de \(I\) dans \(\mathbb{R}^{n}\).
Soit \(f\) une fonction définie sur un domaine \(\Omega\subset \mathbb{R}^{n}\) contenant la courbe \(C\).
Definition 4.2 L’intégrale de \(f\) le long de la courbe \(({\mathbf{c}},I)\) (la carte définissant l’orientation) est \[\int_{C}f= \int_{a}^{b}f({\mathbf{c}}(t))\left|{{\mathbf{c}}^{\prime}(t)}\right|dt\]
4.6 Intégrale sur un pavé de \(\mathbb{R}^{n}\).
Soit \(\Omega=[a_{1},b_{1}]\times \dots \times [a_{n},b_{n}]\) un pavé de \(\mathbb{R}^{n}\) et soit \(f\) une fonction définie et continue sur \(\omega\). L’intégrale de \(f\) sur \(\Omega\) est définie par
\[\int_{\Omega}f(x)dx= \int_{a_{1}}^{b_{1}} \int_{\dots}\int_{a_{n}}^{b_{n}}f(x)dx_{1}\dots dx_{n} = \int_{a_{1}}^{b_{1}}\left(\dots \left(\int_{a_{n}}^{b_{n}}f(x)dx_{n}\right)\dots\right)dx_{1}\] Cette intégrale est bien définie puisque \(f\) est continue pour chaque variable \(x_{i}\). De plus, cette intégrale est indépendante de l’ordre d’intégration choisie).
4.7 Intégrale multiple – Formule de Jacobi
On généralise naturellement la définition de l’intégrale sur un pavé à tout domaine se décomposant en une réunion finies et disjointe de pavés. Plus généralement pour domaine \(\omega\subset \mathbb{R}^{n}\) on peut trouver une suite de domaine \(\omega_{n}\) qui sont chacun des décompositions finies de pavés disjoints de \(\mathbb{R}^{n}\). Alors, \[\int_{\Omega}f(x)dx = \lim_{n\rightarrow \infty}\int_{\Omega_{n}}f(x)dx\]
Par ailleurs si un domaine \(\Omega\) est l’image d’un pavé \(D\) par une application \(T\) : \[T(D)= \Omega,\] alors on peut montrer que le résultat suivant, généralisation aux intégrales multiples de la formule de changement de variable [thm:cdv] :
Theorem 4.5 Formule de Jacobi – Formule de changement de variable. \[\int_{\Omega}f(x)dx = \int_{D}f(T(u))\left|{J_{T}(u)}\right|du\]
où \(\left|{J_{T}(u)}\right|\) est la Jacobienne (déterminant du gradient ou Jacobien) de l’application \(T(u)=x\).
Proof. Pseudo-preuve dans \(\mathbb{R}^2\) : un élément d’aire \(dudy\) se transforme en un élément \(dxdy\) par le changement de variable \(T\).
l’aire du parallélograme \(dxdy\) peut être calculée par la formule \[\begin{aligned} dxdy & = \left|{dx\wedge dy}\right| \\ & = \left|{\begin{bmatrix} x_{,u} \\ y_{,u} \end{bmatrix}du\wedge \begin{bmatrix} x_{,v} \\ y_{,v} \end{bmatrix}dv}\right|\\ & = \left|{x_{,u}y_{,v} - y_{,u}x_{,v}}\right|dudv\\ & = \left|{J_{T}(u)}\right|dudv. \end{aligned}\] ◻
Exemples :
Considérons le cylindre \(\Omega = \{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^{3}\;/\; x^2+y^2 -1 \geq 0\quad \text{ et } \quad 0\leq z\leq 1\}\), alors \(\Omega\) est l’image de \(D=[0,1]\times[0,2\pi]\times[0,1]\) en posant \[T(r,\theta,z)= (r\cos{\theta},r\sin{\theta},z)\] si bien que \[J_{T} = \frac{\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta,z)}= \begin{bmatrix} \cos{\theta} & -r\sin{\theta} & 0 \\ \sin{\theta} & r\cos{\theta} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\] d’où \(\left|{J_{T}(u)}\right|=r\). On a ainsi : \[\int_{\Omega} f(x,y,z) dxdydz = \int_{D} f(r,\theta,z)rdrd\theta dz.\]
Si \(\Omega = \{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^{3}\;/\; xyz \geq 0, \quad x+y+1\leq 1\}\), alors \(\Omega\) est l’image de \(D=[0,1]^{3}\) en posant \[T(u,v,w)= (u(1-v), uv(1-w),uvw)\] si bien que \[J_{T} = \frac{\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}= \begin{bmatrix} 1-v & -u & 0 \\ v(1-w) & u(1-w) & -uv \\ vw & uw & uv \end{bmatrix}\] d’où \(\left|{J_{T}(u)}\right|=u^{2}v\).