5 Théorème de Stokes et Formule de la divergence
On introduit ici un objet mathématique particulier : les formes différentielles. L’étudiant non-mathématicien peut ignorer les définitions et la forme générale du théorème de Stokes. On pourra s’attarder uniquement sur les différentes formes du théorème de Stokes qui apparaît comme une généralisation des formules d’intégration par partie et ce indépendamment de la définition d’intégrale choisie.
On regardera en particulier les théorèmes de la divergence définissant la notion de divergence et les formules de Green, fondamentales en Mécanique et en mathématiques appliquées, puisque ces notions régissent les principales lois en Mécanique (équations d’équilibre en solides, équation de Navier-Stokes en fluides) mais partout en Mécanique appliquée où les formulations variationnelles (principe des travaux virtuels) interviennent avec toutes les conséquences dans la résolution numérique par la méthode des éléments-finis, voir le chapitre [chap:af] sur l’analyse fonctionnelle.
5.1 Formes différentielles
Definition 5.1 Une \(k\)-surface \(\Omega\) dans \(\mathbb{R}^{n}\), est l’image par un difféomorphisme \(T\) d’un domaine \(D \in \mathbb{R}^{k}\) à valeur dans \(\mathbb{R}^{n}\). On dit que la \(k\)-surface est de classe \(C^m\), si l’application \(T\) est de classe \(C^m\).
On dit aussi que la \(k\)-surface \(\Omega\in \mathbb{R}^{n}\) est une sous-variété de dimension \(k\) plongée dans \(\mathbb{R}^{n}\).
Definition 5.2 On note \[\omega = \sum a_{i_{1},\dots,i_{k}}dx_{i_{1}} \wedge\dots \wedge dx_{i_{k}} \label{eq:fd}\] une \(k\)-forme différentielle ou forme différentielle d’ordre \(k\), la forme linéaire qui à toute \(k\)-surface \(\Omega\in \mathbb{R}^{n}\) de classe \(C^{1}\), image par \(T\) de \(D \in \mathbb{R}^{k}\), fait correspondre la quantité : \[\int_{\Omega}\omega = \int_{D}\sum a_{i_{1},\dots,i_{k}}(T(u)) \left|{J_{T}(u)}\right|du\]
où \[\left|{J_{T}(u)}\right|=\det{ \frac{\partial(x_{i_{1}},\dots,x_{i_{k}})}{\partial(u_{1},\dots,u_{k})}}\] désigne le Jacobien de l’application \((u_{1},\dots,u_{k})\longrightarrow (T_{i_{1}}(u),\dots, T_{i_{k}}(u))\).
Convention: une forme différentielle d’ordre 0 est une fonction.
La notation [eq:fd] est unique si les \(x_{i_{j}}\) sont numérotés et pris dans un ordre croissants.
On remarque que cette définition reprend simplement la formule de Jacobi de changement de variable dans les intégrale multiples, si bien que cette définition est indépendante du choix de \(D\) et de \(T\).
Cette définition permet de généraliser la notion d’intégrale sur une courbe définie dans la section précédente. En effet, considérons un contour \(\gamma\) de \(\mathbb{R}^{2}\) défini par \[\gamma=\{ (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \quad (x,y)=(x(t),y(t)) =T(t)\quad t\in [a,b]\}.\] Et posons \[\omega= {f(x,y)} ds \quad \text{avec}\quad ds= {\mathbf{t}}.\begin{bmatrix}dx\\dy\end{bmatrix},\] où \({\mathbf{t}}\) est la tangente unitaire à \(\gamma\), on peut prendre \[{\mathbf{t}} = \frac {1} { \sqrt{ (x^{\prime})^{2}+ (y^{\prime})^{2}}} \begin{bmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\end{bmatrix}.\] Alors, \(\omega\) est la forme linéaire qui fait correspondre à \(\gamma\) l’intégrale de \(f\) sur \(\gamma\): \[\int_{\gamma} \omega = \int_{\gamma}f(x,y)ds =\int_{a}^{b} f(x(t),y(t)) \sqrt{ (x^{\prime})^{2} + (y^{\prime})^{2}} dt\]
Proposition 5.1 Dans \(\mathbb{R}^{n}\) une \(n+1\) forme différentielle est une forme nulle.
5.2 Différentielle d’une forme différentielle
La notation \[\omega = \sum a_{i_{1},\dots,i_{k}}dx_{i_{1}}\wedge\dots \wedge dx_{i_{k}}\] d’une forme différentielle provient de la définition du produit de deux formes différentielles :
Definition 5.3 Le produit extérieur des deux 1-formes différentielles \(dx\) et \(dy\) est la 2-forme différentielle \(dx\wedge dy\). Elle est notée avec le symbole \(\wedge\).
Proposition 5.2 \(dx\wedge dy= - dy\wedge dx\).
On généralise alors
Definition 5.4 Produit extérieur – On définit le produit extérieur de deux formes différentielles \(\omega_{1}\) et \(\omega_{2}\) par les règles de calcul :
\(\omega_{1}\wedge\omega_{2}= - \omega_{2}\wedge\omega_{1}\)
\(\omega_{1}\wedge( \omega_{2} +\omega_{3})= \omega_{1}\wedge\omega_{2} + \omega_{1}\wedge\omega_{3}\)
Par exemple \[(fdx\wedge dz) \wedge (gdx +hdy) = -hf dx\wedge dy \wedge dz .\]
Theorem 5.1 Il existe un opérateur nommé différentielle et noté \(d\) qui à toute \(k-1\) forme différentielle \(\omega\) fait correspondre une \(k\)-forme différentielle \(d\omega\) avec les règles suivantes :
\(d(d\omega) =0\)
\(df(x_{1},\dots,x_{n})= \partial_{x_{1}}{f}dx_{1} + \dots + \partial_{x_{n}}{f}dx_{n}\)
\(d\left(f(x_{1},\dots,x_{n})dx_{i_{1}}\wedge \dots \wedge )dx_{i_{k}}\right) =df(x_{1},\dots,x_{n})\wedge \left(dx_{i_{1}}\wedge \dots \wedge )dx_{i_{k}}\right)\)
Ainsi, le produit d’une \(k_{1}\)-forme et d’une \(k_{2}\) forme différentielle donne une \((k_{1}+k_{2})\)-forme différentielle.
5.3 Théorème de Stokes – Formule de la divergence
Le théorème de Stokes, qui suit, est fondamental, puisqu’en découle toutes les formules d’intégration par partie (Green, Ostogradski) sur des domaines de \(\mathbb{R}^{n}\). Nous renvoyons à (Rudin 1995) pour une démonstration
Theorem 5.2 Soit \(\omega\) une \(k-1\)-forme différentielle de classe \(C^{1}\) et soit \(K\) une \(k\)-surface de classe \(C^{2}\), alors \[\int_{K}d\omega = \int_{\partial K} \omega\]
5.4 Formule de la divergence : définition
Le théorème de Stokes permet de définir la notion de divergence :
Definition 5.5 Formule de la divergence – Soit \({\mathbf{u}}\) un champs de vecteur défini sur \(\Omega\subset\mathbb{R}^n\) à valeur dans \(\mathbb{R}^n\) et soit \({\mathbf{n}}\) le vecteur normal unitaire extérieur à \(\partial\Omega\). On définit l’opérateur divergence par l’unique opérateur différentiel tel que
\[\label{form:div} \int_{\Omega}\text{div}{{\mathbf{u}}} = \int_{\partial\Omega}{\mathbf{u}}.{\mathbf{n}} .\]
5.4.1 Cas où \(\Omega\) est un domaine de \(\mathbb{R}\)
Dans ce cas trivial, la divergence est confondue avec la dérivée usuelle d’une fonction.
5.4.2 Cas où \(\Omega\) est un domaine de \(\mathbb{R}^{2}\)
Soit \(\omega\) une 1-forme différentielle définie sur \(\mathbb{R}^{2}\) par deux fonctions scalaire \(u_{1}\) et \(u_{2}\) définies sur \(\Omega\subset\mathbb{R}^2\) : \[\omega = u_{2} dx_{1} - u_{1} dx_{2} .\] Alors, d’après les règles de calculs, on a \[d\omega = (\frac{\partial{u_{1}}}{\partial{x_{1}}} + \frac{\partial{u_{2}}}{\partial{x_{2}}}) dx_{1}\wedge dx_{2}.\] D’où on déduit d’après le théorème de Stokes : \[\int_{\Omega} d\omega = \int_{\partial\Omega} u_{2} dx_{1} - u_{1} dx_{2} =\int_{[a,b]}\left( u_{2}t_{1} - u_{1}t_{2} \right)ds\] où le vecteur \({\mathbf{t}}=(t_{1},t_{2})\) est le vecteur tangent unitaire à \(\partial\Omega\). Si bien qu’en posant \[{\mathbf{u}}= (u_{1},u_{2})\] et en remarquant que la normale extérieure est donnée par \[{\mathbf{n}}=(-t_2, t_1),\] on a \[\begin{aligned} \int_{\Omega}(\frac{\partial{u_{1}}}{\partial{x_{1}}} + \frac{\partial{u_{2}}}{\partial{x_{2}}}) dx_{1}dx_{2} &=\int_{\Omega}(\frac{\partial{u_{1}}}{\partial{x_{1}}} + \frac{\partial{u_{2}}}{\partial{x_{2}}}) dx_{1}\wedge dx_{2} \\ &=\int_{[a,b]}\left( u_{2}t_{1} - u_{1}t_{2} \right)ds\\ &=\int_{[a,b]} {\mathbf{u}}.{\mathbf{n}} ds. \end{aligned}\] D’où la définition
Theorem 5.3 Soit \({\mathbf{u}}\) un champ de vecteur différentiable défini sur \(\Omega\subset \mathbb{R}^{2}\) à valeurs dans \(\mathbb{R}^{2}\). \[\text{div}{{\mathbf{u}}} = \frac{\partial{u_{1}}}{\partial{x_{1}}} + \frac{\partial{u_{2}}}{\partial{x_{2}}}.\]
5.4.3 Cas où \(\Omega\) est un domaine de \(\mathbb{R}^{3}\)
Theorem 5.4 Soit \({\mathbf{u}}\) un champ de vecteur différentiable défini sur \(\Omega\subset \mathbb{R}^{3}\) à valeurs dans \(\mathbb{R}^{3}\). \[\text{div}{{\mathbf{u}}} = \frac{\partial{u_{1}}}{\partial{x_{1}}}+\frac{\partial{u_{2}}}{\partial{x_{2}}}+ \frac{\partial{u_{3}}}{\partial{x_{3}}}.\]
Proof. On procède de façon analogue au cas dans \(\mathbb{R}^2\) :
Soit \(\omega\) une 2-forme différentielle définie sur \(\mathbb{R}^{3}\) par les trois fonctions \(u_{1}\), \(u_{2}\) et \(u_{3}\) : \[\omega = u_{1}dx_{2}\wedge dx_{3} + u_{2}dx_{3}\wedge dx_{1}
+ u_{3}dx_{1}\wedge dx_{2}.\] Alors la différentielle vaut : \[d\omega = \left( \frac{\partial{u_{1}}}{\partial{x_{1}}}+\frac{\partial{u_{2}}}{\partial{x_{2}}}+
\frac{\partial{u_{3}}}{\partial{x_{3}}}\right) dx_{1}\wedge dx_{2}\wedge dx_{3}.\] On a donc \[\begin{aligned}
\int_{\Omega}\left( \frac{\partial{u_{1}}}{\partial{x_{1}}}
+\frac{\partial{u_{2}}}{\partial{x_{2}}}+
\frac{\partial{u_{3}}}{\partial{x_{3}}}\right)dx_1dx_2dx_3 &=
\int_{\Omega}\left( \frac{\partial{u_{1}}}{\partial{x_{1}}}
+\frac{\partial{u_{2}}}{\partial{x_{2}}}+
\frac{\partial{u_{3}}}{\partial{x_{3}}}\right) dx_{1}\wedge dx_{2}\wedge dx_{3} \\
&=\int_{\Omega}d\omega. \\
\end{aligned}\] On écrit alors le théorème de Stokes \[\begin{aligned}
\int_{\Omega}d\omega.
&= \int_{\partial\Omega}u_{1}dx_{2}\wedge dx_{3}
+ u_{2}dx_{3}\wedge dx_{1}
+ u_{3}dx_{1}\wedge dx_{2} \\
&= \int_{D} \left(
u_{1}(\phi)\frac{\partial(x_{2}, x_{3})}{\partial(t_{1}, t_{2})}
+ u_{2}(\phi)\frac{\partial(x_{3}, x_{1})}{\partial(t_{1}, t_{2})}
+ u_{2}(\phi)\frac{\partial(x_{1}, x_{1})}{\partial(t_{1}, t_{2})}
\right) dt_{1}dt_{2}\\
&= \int_{D} \det{\left( {\mathbf{f}}, \frac{\partial{\phi}}{\partial{t_{1}}},
\frac{\partial{\phi}}{\partial{t_{2}}}\right)} dt_{1}dt_{2}\\
&= \int_{D} {\mathbf{f}}.( \frac{\partial{\phi}}{\partial{t_{1}}} \wedge\frac{\partial{\phi}}{\partial{t_{2}}})dt_{1}dt_{2} \\
&=\int_{\partial\Omega} {\mathbf{u}}.{\mathbf{n}} ds
\end{aligned}\] d’où la définition de la divergence. ◻
On admettra de façon plus générale le
Theorem 5.5 Soit \({\mathbf{u}}\) un champ de vecteur différentiable défini sur \(\Omega\subset \mathbb{R}^{n}\) à valeurs dans \(\mathbb{R}^{n}\). \[\begin{aligned} \text{div}{{\mathbf{u}}} &= \sum_{i=1}^{n}\frac{\partial{u_{i}}}{\partial{x_{i}}} \\ &= tr(\nabla {\mathbf{u}}). \end{aligned}\]
On étends la notion d’opérateur divergence aux champs de tenseur d’ordre 2 :
Theorem 5.6 Soit \(\mathbb{M}\) un tenseur d’ordre 2 défini sur \(\Omega\subset \mathbb{R}^{3}\), on définit également : \[\int_{\Omega}\text{div}{\mathbb{M}}= \int_{\partial\Omega}\mathbb{M}{\mathbf{n}}\] de sorte que la divergence d’un tenseur d’ordre 2 est un champ de vecteur : \[\text{div}{\mathbb{M}}= \sum_{j=1}^{n}\begin{bmatrix} M_{1j,j}\\ M_{2j,j} \\ \vdots \\ M_{ij,j} \\ \vdots \\ M_{nj,j} \end{bmatrix}\]
Corollary 5.1 Si \(\mathbb{M}\) est tenseur d’ordre 2 symétrique, on a : \[\int_{\Omega}{\mathbf{OM}}\wedge\text{div}{\mathbb{M}} = \int_{\partial\Omega}{\mathbf{OM}}\wedge\mathbb{M}{\mathbf{n}}\]
Le théorème [cor:1] et son corollaire ont une grande importante en Mécanique des milieux continus. Ils permettent notamment de déduire le principe fondamental de la dynamique.
5.4.4 Formules de Stokes
Theorem 5.7 Soit \({\mathbf{u}}\) un champ de vecteur défini sur \(\Omega\subset\mathbb{R}^{3}\) à valeur dans \(\mathbb{R}^3\) : \[\int_{\partial\Omega}{\mathbf{n}}\wedge{\mathbf{u}} = \int_\Omega\overrightarrow{\texttt{rot}}{{\mathbf{u}}}\]
5.4.5 Formules de Green
En appliquant la formule de de la divergence à \(\text{div}{\mathbb{M}{\mathbf{v}}}\) où \(\mathbb{M}\) est un tenseur d’ordre 2 défini dur un domaine \(\Omega\) de \(\mathbb{R}^{3}\) et \({\mathbf{v}}\) un champ de vecteur de \({\mathbf{v}}\) également défini du \(\Omega\).
On a alors \[\int_{\Omega} \text{div}{\mathbb{M}{\mathbf{v}}} = \int_{\partial\Omega} \mathbb{M}{\mathbf{v}} {\mathbf{n}} - \int_{\Omega} \mathbb{M}: \nabla{{\mathbf{v}}}\;\] et si de plus \(\mathbb{M}\) est un tenseur symétrique, on a
\[\int_{\Omega} \text{div}{\mathbb{M}{\mathbf{v}}} = \int_{\partial\Omega} \mathbb{M}{\mathbf{v}} {\mathbf{n}} - \int_{\Omega} \mathbb{M}:\epsilon({\mathbf{v}})\] où \[\epsilon({\mathbf{v}})= \frac{1}{2}\left( \nabla{{\mathbf{v}}}\; +\nabla{{\mathbf{v}}}\;^{T}\right).\]