9 Théorie restreinte de la mesure La mesure de Lebesgue
La théorie de la mesure est la base fondatrice de l’intégrale de Lebesgue qui suit dans le chapitre [ch:lebesgue].
Nous donnons ici une présentation simplifiée de la théorie de la mesure. En effet, nous nous limitons à la mesure de Lebesgue, c’est à dire la mesure des parties de \(\mathbb{R}^{n}\). En particulier, nous faisons l’impasse sur les notions fondatrices de la théorie classique de la mesure, comme la notion de tribu, de mesure \(\sigma\)-additive ou d’ensemble Borélien.
Pour un exposé complet nous renvoyons par exemple à “Real and Complex Analysis” de Walter Rudin ou tout cours de Mathématique sur le sujet (niveau Licence de Mathématiques). Nous pensons que cela n’est pas nécessaire pour un étudiant en Mécanique ou pour un élève ingénieur. Ce n’est sans doute pas l’avis de tous... Quant à l’éventuel étudiant en Mathématiques, il pourra voir cette présentation comme une introduction à la théorie abstraite.
Par contre, nous donnons directement une présentation sur un ensemble ouvert \(E\subset \mathbb{R}^{n}\). \(E\) peut donc être borné ou non-borné. Puisque l’un des intérêt de la théorie est justement de s’affranchir d’une définition sur un intervalle comme c’est le cas pour l’intégrale de Riemann.
9.1 Ensemble élémentaire
9.1.1 Pavés et mesure d’un pavé
Definition 9.1 Un pavé \(P\) de \(E\) est un ensemble de \(E\subset \mathbb{R}^{n}\) qui peut s’écrire sous la forme de produit (tensoriel) d’intervalles réels contenant ou non leurs extrémités : \[P =[a_{1},b_{1}]\times \dots \times[a_{n},b_{n}]\] ou encore \[P =[a_{1},b_{1}[\times \dots \times]a_{n},b_{n}]\] etc, …Les intervalles pouvant être ouverts ou non.
Definition 9.2 La mesure d’un intervalle \([a,b]\) est sa mesure Euclidienne, c’est à dire sa longueur : \[{{\mathtt{m}}}{( [a,b] )}=\left|{b-a}\right|.\] La mesure d’un pavé de \(E\subset\mathbb{R}^{n}\) est le produit de la mesure des intervalles le constituant: \[\begin{aligned} {{\mathtt{m}}}{( [a_{1},b_{1}]\times \dots \times[a_{n},b_{n}] )} \\ &={{\mathtt{m}}}{( [a_{1},b_{1}[\times \dots \times[a_{n},b_{n}] )} \\ &=\dots\\ &={{\mathtt{m}}}{( ]a_{1},b_{1}[\times \dots \times]a_{n},b_{n}[ )}\\ &= \prod_{i=1}^{n}\left|{b_{i}-a_{i}}\right| \end{aligned}\]
Ainsi, dans \(\mathbb{R}^{2}\) les pavés sont des rectangles et \({{\mathtt{m}}}{()}\) mesure l’aire, dans \(\mathbb{R}^{3}\) \({{\mathtt{m}}}{()}\) mesure le volume.
9.1.2 Ensemble élémentaire et mesure d’un ensemble élémentaire
Definition 9.3 On dit qu’un ensemble est élémentaire s’il est réunion disjointe et dénombrable de pavés.
Si \(A=\bigcup P_{k}\) où les \(P_{k}\) sont des pavés 2 à 2 disjoints, alors \[{{\mathtt{m}}}{(A)} = \sum {{\mathtt{m}}}{(P_{k})}.\]
Proposition 9.1 La mesure d’un ensemble élémentaire est indépendante du choix de sa décomposition.
9.2 Ensemble mesurable
9.2.1 Mesure extérieure
Definition 9.4 Soit \(A\) une partie de \(E\subset\mathbb{R}^{n}\), on définit sa mesure extérieure par \[\mu^{*}(A) = inf \{ \sum_{k} {{\mathtt{m}}}{(P_{k})}; \quad A\subset \bigcup_{k} P_{k}. \}\] où \(A\subset\cup_{k} P_{k}\) désigne un recouvrement de \(A\) par des pavés de \(E\).
9.2.2 Ensemble mesurable
Definition 9.5 Une partie \(A\) de \(E\) est dit mesurable si pour tout \(\varepsilon>0\), il existe un ensemble élémentaire \(B\) de \(E\) tel que \[\mu^{*}(A\Delta B) \leq \varepsilon\] où \(A\Delta B\) désigne la différence symétrique 1.
Autrement dit, les ensembles mesurables sont les ensembles limites d’ensembles élémentaires. Ce qui signifie que pour trouver un ensemble non-mesurable, il faut se lever de bonne heure !
Malgré tout nous pouvons préciser un peu la définition d’ensemble mesurable. De façon triviale nous avons
Proposition 9.2 Tout ensemble élémentaire est mesurable.
Theorem 9.1 Tout ensemble ouvert de \(\subset\mathbb{R}^{n}\) est mesurable
Preuve du théorème [th:mes] : Soit \(A\) un ouvert de \(E\). Par définition, pour chaque point de \(A\), il existe une boule (et donc un pavé) de mesure non-nulle, centré en ce point et contenu dans \(A\).
Il suffit alors de considérer tous les points de \(A\) à composantes rationnelles et les pavés de cotés rationnels. Il est clair que tous les points de \(A\) sont contenus dans un de ces pavés “rationnels”. Ce qui signifie que \(A\) peut être approchée par des ensembles élémentaires aussi près que l’on veut. \(\Box\)
Theorem 9.2 La réunion dénombrable d’ensembles mesurables est mesurable. L’intersection finie d’ensembles mesurables est mesurable.
9.2.3 Mesure d’un ensemble mesurable
Definition 9.6 Soit \(A\) un ensemble mesurable dans \(E\). Alors la mesure de \(A\) est sa mesure extérieure. \[{{\mathtt{m}}}{(A)}= \mu^{*}(A).\]
Proposition 9.3 Soit \(A_{n}\) des ensembles mesurables et soit \(A= \cup_{n} A_{n}\). Alors \[{{\mathtt{m}}}{(A)} \leq \sum_{n} {{\mathtt{m}}}{(A_{n})}.\] Si de plus les \(A_{n}\) sont deux à deux disjoints, alors \[{{\mathtt{m}}}{(A)} = \sum_{n} {{\mathtt{m}}}{(A_{n})}.\]
9.2.4 Ensemble de mesure nulle
Nous terminons cette section par des exemples d’ensemble de mesure nulle. A compléter..
9.3 Fonctions mesurables
9.3.1 Limites de fonctions continues
Definition 9.7 Soit \(f\) une fonction à valeur réelle définie sur \(E\subset\mathbb{R}^{n}\). On dit que \(f\) est mesurable si pour tout \(a\in\mathbb{R}\), \[\{ x\in E \quad / \quad f(x) > a \}\] est un ensemble mesurable.
Proposition 9.4 Toute fonction continue sur \(E\) est mesurable dans \(E\).
Theorem 9.3 Une \(f\) est mesurable si et seulement si pour tout \(\varepsilon>0\) il existe une fonction continue \(\varphi\) telle que \[\mu^{*}\left \{ x, \quad f(x)\neq \varphi(x) \right) \leq \varepsilon\}.\]
Autrement dit, les fonctions mesurables sont toutes les limites simples de fonctions continues. Cela entraîne immédiatement le résultat corollaire :
Corollary 9.1 Toute limite simple de fonction mesurable est mesurable.
9.3.2 Propriétés des fonctions mesurables
Theorem 9.4 Si \(f\) est une fonction mesurable sur \(E\), et si \(f_{n}\) désigne une suite de fonctions mesurables sur \(E\), alors les fonctions
\(\left|{f}\right|\)
\(g(x) = \sup_{n}{ f_{n}(x)}\)
\(h(x) = \lim_{\infty}{ \sup{f_{n}(x)}}\)
le sont également.
9.3.3 Classe des fonctions nulles presque partout
Definition 9.8 On dit qu’une fonction mesurable \(f\) est nulle presque partout sur \(E\) si il existe un ensemble de mesure nulle \(A\) tel que \[f(x) = 0 \quad \forall x\in E\setminus A .\] On note \(f=0\) p.p. sur \({E}\).
Comme l’union finie d’ensembles de mesure nulle est également de mesure nulle, on peut définir la relation d’équivalence \[f \sim g \text { sur } E \quad \Longleftrightarrow \quad f-g = 0 \text{ p.p. sur } E\]
9.4 Quelques remarques
9.4.1 Sur les fonctions non-mesurables
L’ensemble des fonctions mesurables apparaît comme la fermeture (différent de la complétion) de l’ensemble ces fonctions continues au sens des limites simples.
Une question se pose alors: existe-t-il des fonctions non-mesurable ?
La réponse est oui, mais comme pour les ensembles non-mesurables, ils sont bien cachés.
On pourrait énoncer un pseudo-théorème : tous les ensembles usuels sont mesurables. toutes les fonctions usuelles sont mesurables.
9.4.2 Sur la théorie abstraite de la mesure
Les ensembles mesurables que nous avons définis correspondent par rapport à la théorie classique de la mesure, aux éléments de la tribu borélienne sur \(E\subset\mathbb{R}^{n}\), à savoir la plus petite \(\sigma\)-algèbre contenant les ouverts de \(E\). On l’appelle la mesure de Lebesgue.
Cela signifie que dans la théorie classique les théorèmes [th:mes] et [th:mes2] apparaissent comme des définitions. La notion de mesure et d’ensemble mesurable est bien plus générale que telle que nous le présentons.
\(A\Delta B= [A\setminus(A\cap B)]\cup [B\setminus(A\cap B)]\)↩︎