13  Petite introduction à l’analyse fonctionnelle

Même prudent, le titre est trompeur, il ne s’agit pas véritablement d’analyse fonctionnelle mais, pour le moment, une collection de résultats théoriques concernant des espaces de fonctions usuels en mathématiques appliquées et en mécanique en particulier. Les résultats qui suivent sont difficiles et peuvent être survolés sans conséquences en Licence de Mécanique, mais pourront être acquises au cours de la maîtrise.

Il est essentiel, avant de vouloir résoudre un problème, de savoir s’il est bien posé ou non : savoir il existe une solution au problème posé et si oui, savoir si il existe une ou plusieurs solutions. Dans un cadre mécanique cela revient à savoir si la modélisation a un sens ou non. En effet, il est vain de vouloir trouver une solution si elle n’existe pas et si il existe plusieurs solutions, laquelle choisir ?

En bref, comment savoir si les équations, les conditions aux limites d’un problème sont bien écrites, s’il n’en manque pas, s’il ne sont pas contradictoires.

A ces questions, seule l’analyse mathématique permet de répondre, en classant notamment les problèmes, en les identifiant et en les regroupant par les propriétés des solutions et de leur dépendance aux données.

L’intérêt de ce cadre mathématique est une maîtrise relative d’un cadre théorique de la modélisation en mécanique: maîtrise des théorèmes d’existence, d’unicité et de la dépendances des solutions aux données du problème, maîtrise également de l’approximation.

Naturellement, un résultat d’existence ne donne pas a priori d’indication sur la manière de rechercher la solution d’un problème. C’est là une des grandes difficultés de ce cadre théorique : des énoncés difficiles, abstraits, pour une pratique concrète quasi nulle au métier d’ingénieur.

Enfin, c’était sans compter les ingénieurs qui ont mis au point la méthode des éléments-finis, basés sur ce cadre théorique, permettant d’approximer les solutions d’un grand nombre de problème mécanique.

13.1 Espace de Banach

Definition 13.1 Soit \(E\) un espace vectoriel normé, on dit que c’est un espace de Banach s’il est complet.

Autrement dit, \(E\) est complet si toute suite de Cauchy dans \(E\) est convergente.

La notion d’espace complet induit des résultats d’existence. C’est la raison essentielle pour laquelle on fait tant d’effort pour travailler dans des espaces de fonctions ayant cette propriété.

13.1.1 Quelques caractérisations abstraites d’un espace de Banach

Theorem 13.1 Soit \(E\) un espace vectoriel normé, alors \(E\) est complet si et seulement si les séries absolument convergentes (resp. normalement) sont convergentes.

Theorem 13.2 Soit \(E\) une espace vectoriel normé complet et soit un sous espace vectoriel \(F\subset E\). Si \(F\) est fermé dans \(E\), alors \(F\) est lui même complet pour la norme induite.

Theorem 13.3 Soit \(E\) un espace de Banach, alors son dual topologique \(E^{\prime}\), c’est à dire l’ensemble des formes linéaires continues sur \(E\) est aussi un Banach pour la norme \[{\|{A}\|}_{E^{\prime}}= \sup_{{\|{f}\|}_{E}=1}\left|{A(f)}\right|\]

Les espaces de Banach permettent de définir simplement la notion de fonction continue et par suite le notion de différentielle :

Definition 13.2 Soit \(E\) et \(F\) deux espaces de Banach réel, et soit \(f\) une fonction définie d’une partie ouverte \(U \subset E\) dans \(F\). Alors \(f\) est continue en \(x\in U\) si et seulement si \(f(x + h)\) converge vers \(f(x)\) dans \(F\), lorsque \(h\) converge vers \(0\) dans \(E\) : \[f(x+h) = f(x) + O(h)\]

Definition 13.3 Soit \(E\) et \(F\) deux espaces de Banach réel, et soit \(f\) une fonction définie d’une partie ouverte \(U \subset E\) dans \(F\). Alors \(f\) est différentiable en \(x\in U\) si et seulement si il existe une application linéaire \(A\) de \(E\) dans \(F\) (on note \(A\in{\cal{L}}(E,F)\)) telle que \[f(x+h) = f(x) + Ah + o(h)\] \(A\) est la dérivée de \(f\) en \(x\), on la note généralement \(f^{\prime}(x)\).

13.1.2 Quelques exemples d’espaces de Banach

Tout espace vectoriel réel ou complexe de dimension finie est un espace complet pour n’importe quelle norme.

\(\mathbb{L}^{1}(\Omega)\) est complet pour tout \(\Omega\) mesurable avec la norme \[{\|{f}\|}_{\mathbb{L}^{1}(\Omega)}= \int_{\Omega}\left|{f(x)}\right|dx.\]

\(\mathbb{L}^{2}(\Omega)\) est complet pour tout \(\Omega\) mesurable avec le norme \[{\|{f}\|}_{\mathbb{L}^{2}(\Omega)} = \left(\int_{\Omega}\left|{f(x)}\right|^{2}dx\right)^{\frac{1}{2}}.\]

\(\mathbb{L}^{p}(\Omega)\), \(p \geq 1\) est complet pour tout \(\Omega\) mesurable avec le norme \[{\|{f}\|}_{\mathbb{L}^{p}(\Omega)} = \left(\int_{\Omega}\left|{f(x)}\right|^{p}dx\right)^{\frac{1}{p}}.\]

\(C^{1}([O,1])\) est complet pour sa norme usuelle \[{\|{f}\|}_{C^{1}} = \sup_{[0,1]}\left|{f(x)}\right| + \sup_{[0,1]}\left|{f^{\prime}(x)}\right|.\] Cela se généralise pour l’ensemble des fonctions de classe \(C^{1}\) définies sur un compact de \(\mathbb{R}^{n}\).

13.1.3 Quelques exemples d’espaces qui ne sont pas des espaces de Banach

\(C^{1}([O,1])\) n’est pas complet pour la norme \[{\|{f}\|}_{\infty}=\sup_{[0,1]}\left|{f(x)}\right|.\]

\(C^{\mathbb{R}}\) n’est même pas normable.

\(C^{1}(]O,1[)\) n’est même pas normable.

13.2 Espace de Hilbert

Les espaces de Hilbert sont très importants car ils sont à la base des théorèmes d’existence pour les problèmes issues de la Mécanique, notamment en ce qui concerne les formulations variationnelles (ou principe des puissances virtuelles) qui entrent dans le cadre de la théorie de Lax-Milgram.

Definition 13.4 Soit \(H\) un espace vectoriel. Un produit scalaire sur \(H\) est une forme bilinéaire définie positive symétrique \(a(u,v)\) de \(H\times H\) à valeur dans \(\mathbb{R}\). Une telle forme bilinéaire induit une norme \[{\|{u}\|}_{a}= \left\{a(u,u)\right\}^{\frac{1}{2}}.\]

Definition 13.5 Soit \(H\) un espace vectoriel muni d’un produit scalaire, on dit que \(H\) est un espace de Hilbert s’il est complet pour la norme associée au produit scalaire.

Ainsi, un espace de Hilbert est un cas particulier d’espace de Banach.

13.2.1 Quelques exemples d’espaces de Hilbert

\(\mathbb{L}^{2}(\Omega)\) est un Hilbert pour tout \(\Omega\) mesurable avec le produit scalaire : \[(f,g)_{\mathbb{L}^{2}}= \int_{\Omega}f(x)\overline{g(x)}dx\]

\(H^{1}(\Omega)\) est un Hilbert pour tout \(\Omega\) mesurable avec le produit scalaire : \[(f,g)_{\mathbb{H}^{1}}= \int_{\Omega}f(x)\overline{g(x)}dx + \int_{\Omega}\nabla f(x).\overline{\nabla g(x)}dx\]

13.2.2 Principaux résultats sur les Hilberts

Theorem 13.4 Représentation de Riesz – Soit \(L\) une forme linéaire continue définie sur un Hilbert \(H\). Il existe un unique \(f\in H\) tel que \[(f,v)_{H} = L(v) \forall v \in H .\]

Theorem 13.5 Soit \(H\) un espace de Hilbert séparable, alors il existe une suite \(e_{n}\in H\) telle que

  1. \({\|{e_{n}}\|}_{H}=1\)

  2. \((e_{n},e_{m})_{H}=\delta_{n,m}\)

  3. l’espace vectoriel engendré par les \(e_{n}\) est dense dans H : \[\forall u\in H \quad u=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}e_{n}\] avec \[a_{n} = (u,e_{n})_{H}\] et \[{\|{u}\|}_{H}= \left\{\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}^{2}\right\}^{\frac{1}{2}}.\]