12 Introduction à la théorie des distributions
12.1 Introduction
C’est à Paris, en 1944, que Laurent Schwartz invente, en une nuit, sa théorie des distributions, théorie qui lui vaudra une médaille Fields en 1950. Comme il le décrit lui-même dans son autobiographie (Schwartz 1997), la théorie des distributions était inévitable, et plusieurs théories contemporaines en étaient très proches dont notamment la théorie de Sobolev.
La nécessité d’une théorie allant au delà de la définition classique des fonctions et du calcul différentiel s’imposait par des exemples:
Fonction de Heaviside et sa dérivée
Ondes sans équations.
L’équation des ondes \[\frac{\partial^{2}{u}}{\partial{x}\partial{y}}= 0\] a pour solutions générales \(u=f(x)+g(y)\) où \(f\) et \(g\) sont deux fonctions arbitraires deux fois différentiables. La question naturelle est des savoir si dans le cas ou \(f\) et \(g\) ne sont plus différentiables, on a toujours une onde ou non. L’expérience physique montre que oui, bien que cela n’ait pas de sens mathématique, du moins avec les définitions classiques de fonctions et de dérivées.
12.2 Espace des fonctions infiniment dérivables à support compact
Definition 12.1 Le support d’une fonction continue \(f\) est la fermeture (ou l’adhérence) de l’ensemble des \(x\) tels que \(f(x)\neq 0\). On note : \[\text{supp}{f} = \overline{\{x \; / \; f(x)\neq 0 \}}\]
Proposition 12.1 Dans \(\mathbb{R}^{n}\) les ensembles compacts sont les ensembles fermés bornés.
Definition 12.2 L’ensemble des fonctions infiniment dérivables à support compact dans \(\Omega\subset \mathbb{R}^{n}\) est noté \(\mathscr{D} (\Omega)\).
\[\varphi= \left\{ \begin{array}[c]{ll} e^{\frac{-1}{1 - \left|{x}\right|^2}} &\left|{x}\right|< 1\\ 0 & \left|{x}\right|\geq 1 \end{array} \right.\]
On munit \(\mathscr{D}\) d’une pseudo-topologie :
Definition 12.3 On dit qu’une suite \(\varphi_{n}\in \mathscr{D}\) converge vers 0 si et seulement si \(\exists K\) un compact tel que \(\text{supp}{\varphi_{n}}\in K\; \forall n\) et : \[\begin{array}[c]{cll} \sup_{K}{\left|{\varphi_{n}}\right|} &\longrightarrow &0 \\ \sup_{K}{\left|{\partial{\alpha}\varphi_{n}}\right|} &\longrightarrow &0. \end{array}\]
On voit que les conditions de convergence sont “sévères” : on dit que c’est une topologie fine (exigeante).
12.3 Théorie des distributions
Definition 12.4 On note \(\mathscr{D}^{\prime}(\Omega)\) le dual topologique de \(\mathscr{D} (\Omega)\). On l’appelle l’espace des distributions sur \(\Omega\). \[\begin{aligned} \mathscr{D}^{\prime}(\Omega) &= \left\{ \text{Formes linéaires continues sur } \mathscr{D} (\Omega) \right\} \\ &= \left\{ T \in \mathscr{L}(\mathscr{D}(\Omega),\mathbb{R}) \; / \; \varphi_{n} \rightarrow \varphi \text{ dans } \mathscr{D}(\Omega) \; \Longrightarrow \; T(\varphi_{n}) \rightarrow T(\varphi) \right\} \end{aligned}\]
On note indifféremment \[T(\varphi) = \langle{T},{\varphi}\rangle .\]
12.3.1 Exemples de distributions
On définit l’ensemble \(\mathscr{L}^{1}_{loc}\) des fonctions mesurables localement intégrable : \[\mathscr{L}^{1}_{loc}= \left\{ f \; / \; \int_{K} f < +\infty, \; \forall K \; compact\right\}.\]
Proposition 12.2 \(\mathscr{L}^{1}_{loc}\) contient \(\mathscr{L}^{1}\), \(\mathscr{L}^{2}\), \(\mathscr{C}^{m}\), \(\dots\).
Proposition 12.3 A toute fonction \(f\) de \(\mathscr{L}^{1}_{loc}\) est associée une distribution qu’on notera dans un premier temps \([f]\) : \[\langle{[f]},{\varphi}\rangle= \int{\mathbb{R}^{n}}f(x)\varphi(x)dx \quad \forall \varphi\in \mathscr{D} .\] On dit que \([f]\) est une distribution régulière.
Les distributions apparaissent ainsi comme une généralisation des fonctions.
Proposition 12.4 On note \(\delta\) la distribution de Dirac, définie par \[\langle{\delta_{0}},{\varphi}\rangle = \varphi(0)\quad \forall \varphi\in \mathscr{D} .\] \[\langle{\delta_{a}},{\varphi}\rangle = \varphi(a)\quad \forall \varphi\in \mathscr{D} .\]
12.3.2 Dérivation des distributions
Definition 12.5 Soit \(T\) une distribution dans \(\Omega\subset\mathbb{R}^{n}\), sa dérivée partielle par rapport à la variable \(x_{i}\) est, par définition, la distribution \[\langle{\frac{\partial{T}}{\partial{x_{i}}}},{\varphi}\rangle = -\langle{T},{\frac{\partial{\varphi}}{\partial{x_{i}}}}\rangle\quad \forall \varphi\in \mathscr{D}.\] De même, on a pour tout multi-indice \(\alpha\) : \[\langle{D^{\alpha}T},{\varphi}\rangle= (-1)^{\left|{\alpha}\right|}\langle{T},{D^{\alpha}\varphi}\rangle\quad \forall \varphi\in \mathscr{D}\]
Ainsi, toute distribution est infiniment dérivable. Par ailleurs, cette définition est une extension de la notion classique de dérivée :
Proposition 12.5 Soit \(f\in\mathscr{L}^{1}_{loc}\) et supposons que sa dérivée \(D^{\alpha}f\) existe et soit localement intégrable, alors \([D^{\alpha}f]\) (distribution associée à la dérivée) coïncide avec \(D^{\alpha}[f]\) (dérivée de la distribution associée).
Proposition 12.6 Soit \(H(x)\) la fonction de Heaviside, alors \([H(x)]^{\prime}= \delta_{0}\). Autrement dit, la dérivée de la fonction de Heaviside est la distribution de Dirac en 0.
12.3.3 Opération sur les distributions
Definition 12.6 – Multiplication par une fonction \(\mathscr{C}^{\infty}\) – Soit \(T \in \mathscr{D}^{\prime}(\Omega)\) et soit \(f\in \mathscr{C}^{\infty}(\Omega)\), alors \(fT\in \mathscr{D}^{\prime}(\Omega)\) : \[\langle{fT},{\varphi}\rangle= \langle{T},{f\varphi}\rangle \quad \forall \varphi\in \mathscr{D}.\]
Si \(T \in \mathscr{D}^{\prime}(\Omega)\) et \(U \in \mathscr{D}^{\prime}(\Omega)\), le produit n’est pas défini a priori.
Definition 12.7 – Translatée d’une distribution – Soit \(T \in \mathscr{D}^{\prime}(\mathbb{R}^{n})\) et \(a\in \mathbb{R}^{n}\), la translatée de \(T\) par \(a\) est la distribution \[\langle{\tau_{a}},{\varphi}\rangle= \langle{T_{x}},{\varphi(x-a)}\rangle\quad \forall \varphi\in \mathscr{D}.\]
12.3.4 Convergence au sens des distributions
Definition 12.8 On dit qu’une suite de distribution \(T_{n}\) converge vers \(T\) au sens des distributions, si et seulement si \[\lim_{n\rightarrow \infty}\langle{T_{n}},{\varphi}\rangle=\langle{T},{\varphi}\rangle \quad \forall \varphi\in \mathscr{D}.\]
12.3.5 Support d’une distribution
Definition 12.9 On note \(\text{supp}{T}\) le support de la distribution \(T\in \mathscr{D}^{\prime} (\Omega)\) défini par \[\begin{aligned} \text{supp}{T} &=\left\{A\subset\Omega \; / \; \text{supp}{\varphi}\in A \Longrightarrow \langle{T},{\varphi}\rangle =0 \right\}\\ &= \complement\left\{A\subset\Omega \; / \; \exists\varphi\in\mathscr{D}(A)\text{ telle que }\langle{T},{\varphi}\rangle\neq 0\right\} \end{aligned}\]
\(\text{supp}{\delta_{0}}=\{0\}\).
Proposition 12.7 Si une distribution est définie par une fonction \(f\), on a \[\text{supp}{[f]} \subset\text{supp}{f}.\]
Proposition 12.8 Si \(\text{supp}{T}=\{0\}\) alors \(T\) est une combinaison linéaire de distributions de Dirac en 0 et de ses dérivées. \[T = \sum_{\alpha}C_{\alpha}\delta_{0} .\]
12.4 Variantes des distributions
12.4.1 Distribution d’ordre finie
Definition 12.10 On note \(\mathscr{D}^{k \prime}(\Omega)\) l’ensemble des distribution d’ordre \(k\in \mathbb{N}\) le dual topologique de \(\mathscr{C}^{k}(\Omega)\).
\(\delta_{0}\) est d’ordre 0, mais \(\delta_{0}^{\prime}\) est d’ordre 1.
12.4.2 Distribution à support compact
Definition 12.11 On note \(\mathscr{E}^{\prime}(\mathbb{R}^{n})\) l’ensemble des distributions à support compact.
Proposition 12.9 \(\mathscr{E}^{\prime}(\mathbb{R}^{n})\) est le dual topologique de \(\mathscr{C}^{\infty}\).
12.4.3 Distribution tempérée
On rappelle que \(\mathscr{S}\), l’espace de Schwartz est l’ensemble des fonctions à décroissance rapide voir la section [def:schwarz]
Definition 12.12 On note \(\mathscr{S}^{\prime}(\mathbb{R}^{n})\) l’ensemble des distributions tempérées, le dual topologique de \(\mathscr{S}(\mathbb{R}^{n})\).
12.5 Produit de convolution de deux distributions
Definition 12.13 Soit \(T\in \mathscr{D}^{\prime}\) une distribution et \(\varphi\in \mathscr{D}\), le produit de convolution est la fonction défini par \[T * \varphi (x) = \langle{T_{y}},{\varphi{x-y}}\rangle.\]
\(\delta_{0} * \varphi(x)=\varphi(x)\).
si \(f\in \mathscr{L}^{1}_{loc}\), alors \([f]* \varphi(x)=f* \varphi(x)\).
Proposition 12.10 Si \(T\in \mathscr{D}^{\prime}\) et si \(\varphi\in \mathscr{D}\) alors \(T * \varphi (x)\) est une fonction \(\mathscr{C}^{\infty}\). De plus, on a \[\partial{\alpha}\left( T * \varphi\right) (x)= \partial{\alpha} T * \varphi(x)= T * \partial{\alpha}\varphi(x) .\]
Proposition 12.11 Si \(T\in \mathscr{E}^{\prime}\) et si \(\varphi\in \mathscr{D}\), \(T * \varphi (x)\) est une fonction à support compact.
Theorem 12.1 \(\mathscr{C}^{\infty}\) est séquentiellement dense dans \(\mathscr{D}^{\prime}\).
Preuve : par le produit de convolution avec la suite régularisante.
Theorem 12.2 Si \(T\in \mathscr{D}^{\prime}\) et \(T^{\prime}=0\), alors \(T\) est une constante.