1  Conventions et notations

Dans ce document, nous serons parfois amené à utiliser quelques conventions de notations propres à la mécanique. En particulier nous utiliserons la convention de sommation par rapport aux indices répétés (on lit également convention d’Einstein) et nous noterons souvent les dérivées partielles à l’aide d’un indice précédé d’une virgule.

Nous commençons toutefois par quelques notations utilisés dans ce document qui sont du reste tout à fait usuel.

1.1 Notations

Nous n’avons pas cherché à faire dans l’originalité, ainsi dans tout le document \(\mathbb{R}\) désigne l’espace des nombres réels tandis que \(\mathbb{C}\) sera l’espace des nombres complexes.

Les quantités scalaire seront systématiquement noté en italique, tandis que les objets vectoriels seront noté soit avec une flêche soit en caractère soulignés:

On désigne généralement par \(f\) ou \(g\) une fonction scalaire, c’est à dire à valeur dans \(\mathbb{R}\) (ou éventuellement \(\mathbb{C}\)).

Les objets vectoriels seront souvent désigné par \({\mathbf{u}}\) dont les composantes notées \(u_i\) sont des quantités scalaires.

Le symbole \(\Omega\) représentera généralement un domaine à bord régulier de \(\mathbb{R}^d\), où la dimension \(d\), en mécanique, désigne souvent les nombres 2 ou 3.

1.2 Convention de sommation suivant les indices répétés

La convention d’Einstein sur la sommation sur les indices ou exposants répétés est une convention destiné à alléger les écritures dans les formules mathématiques sans pour autant les rendre ambigües.

La convention implique une sommation sur des termes produits dés lors qu’ils présentent des indice répétés :

Ainsi, par exemple, pour \({\mathbf{x}}=[x_1,x_2,\dots,x_n]^\top\) et \({\mathbf{y}}=[y_1,y_2,\dots,y_n]^\top\), deux vecteurs de \(\mathbb{R}^n\), le produit scalaire : \[{\mathbf{x}}.{\mathbf{y}} = \sum_{i=1}^{n} {x_iy_i},\] où l’on remarque l’indice \(i\) qui apparaît répété, sera noté plus simplement : \[{\mathbf{x}}.{\mathbf{y}} = \textcolor{blue}{x_iy_i}.\] De même pour un produit de matrices \(C = BA\) : \[c_{kj} = \sum_{i=1}^{m} b_{ki} a_{ij} \quad \longrightarrow \quad c_{kj} = \textcolor{blue}{b_{ki} a_{ij}}.\] Si un vecteur \({\mathbf{x}}\) a pour composantes \((x_1,x_2,..., x_n)\) dans la base \({\mathbf{e}}_1, {\mathbf{e}}_2,\dots,{\mathbf{e}}_n\), on écrit \[{\mathbf{x}}=\sum_{i=1}^{n}x_i{\mathbf{e}}_i \quad \longrightarrow \quad {\mathbf{x}}=\textcolor{blue}{x_i{\mathbf{e}}_i }\] Si on note, dans \(\mathbb{R}^3\) le produit mixte des vecteurs de la base canonique : \[\varepsilon_{ijk} = ({\mathbf{e}}_i,{\mathbf{e}}_j,{\mathbf{e}}_k) = {\mathbf{e}}_i . ({\mathbf{e}}_j\wedge{\mathbf{e}}_k)\] On peut écrire le produit mixte de trois vecteurs \({\mathbf{a}}\), \({\mathbf{b}}\) et \({\mathbf{c}}\) par \[\begin{aligned} ({\mathbf{a}},{\mathbf{b}},{\mathbf{c}}) = \sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} \sum_{k=1}^{3} \varepsilon_{ijk}a_ib_jc_k \quad \longrightarrow \quad ({\mathbf{a}},{\mathbf{b}},{\mathbf{c}}) = \textcolor{blue}{\varepsilon_{ijk}a_ib_jc_k }, \end{aligned}\] où on a appliqué la convention sur les trois indices répétés \(i\), \(j\) et \(k\).

En réalité, ce manuscrit a d’abord été rédigé sans utiliser cette convention. Ainsi, on ne la trouve pas dans la plupart des chapitres. Nous avons les avons cependant ajouté en bleu, dans la mesure du possible.

1.3 Notation des dérivées partielles

En mécanique et en mathématiques en général, nous avons souven affaire à des systèmes d’équations aux dérivées partielles. Ainsi pour alléger les notations on préférera utiliser la notation en indice précédé d’une virgule : \[\begin{aligned} \frac{\partial{f}}{\partial{x}} &= f_{,x} \\ \frac{\partial{u_i}}{\partial{x_j}} &= u_{i,j}\\ \frac{\partial^2u_i}{\partial x_j\partial x_k} &= u_{i,jk}. \end{aligned}\] Si on considère une fonction scalaire \(f\) défini sur \(\Omega\subset\mathbb{R}^n\) (à valeur dans \(\mathbb{R}\)) alors pour toute direction \({\mathbf{h}}= [h_1,h_2,\dots,h_n]^\top\), on écrit la dérivée de \(f\) dans la direction \({\mathbf{h}}\): \[\begin{aligned} \nabla{f(x)}({\mathbf{h}}) = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial{f}}{\partial{x_i}}(x)h_i \quad \longrightarrow \quad \nabla{f(x)}({\mathbf{h}})= \textcolor{blue}{f_{,i}(x)h_i }. \end{aligned}\] où on a également utilisé la convention de sommation suivant les indices répétés.

1.4 Indices et exposant Grecs ou Latins

Bien que la plupart des théories mathématique soit présenté dans un espace abstrait de dimension \(n\), en Mécanique les problèmes sont généralement posés dans les variables d’espace. C’est à dire qu’on travaille en dimension 3 en géneral et en dimension 2 pour des problèmes plans.

Alors, il est une façon bien commode si un problème est en dimension 2 ou 3 :

• l’utilisation réservée des indices et exposants Grecs en dimension 2,

• l’utilisation réservée des indices et exposants Latins en dimension 3.

Ainsi le système \[\textcolor{blue}{ \sigma_{ij,j}} + f_j =0 \quad i=\{1,2,3\}\] identifie immédiatement un problème à trois dimension (avec une sommation sur \(j\)), tandis que dans \[\textcolor{green}{\sigma_{\alpha\beta,\beta}} + f_\alpha =0 \quad \alpha=\{1,2\}\] on reconnait un problème en dimension 2 (avec une sommation sur \(\beta\)) .