10 Intégrale de Lebesgue Théorème de convergence dominée
C’est en 1901 que Henri Lebesgue a introduit sa définition de l’intégrale d’une fonction, dans une note parue aux comptes-rendus de l’Académie des Sciences.
Cette nouvelle construction est essentiellement due au fait que l’intégrale de Riemann présentait nombre de défauts. En particulier, elle est peu adaptée aux intégrales multiples ainsi que pour les passages à la limite.
Autre inconvénient majeur, l’espace des fonctions Riemann intégrables n’est pas complet, si bien que l’analyse sur ces fonctions fait intervenir des fonctions a priori non intégrables.
L’intégrale de Lebesgue basé sur la théorie de la mesure de Émile Borel répond à tous ces problèmes. C’est ce que nous allons exposer.
Dans toute la suite \(E\) représente une partie de \(\mathbb{R}^{n}\). \(E\) peut être borné ou non.
10.1 Fonctions étagées
10.1.1 Fonctions élémentaires
Definition 10.1 Une fonction élémentaire de \(E\) est une fonction valant 1 sur une partie mesurable de \(E\) et 0 partout ailleurs. On parle aussi de fonctions indicatrices1. Par exemple \[{{\mathbb{1}}_{A}}(x) = \left\{ \begin{array}[c]{ll} 1 & \text{ si } x\in A \\ 0 & \text{ si } x\notin A. \end{array} \right.\]
En général, de telles fonctions peuvent également être définies sur des ensembles non-mesurables. Nous choisissons une telle restriction car les ensembles non mesurables ne nous intéressent pas. Pour ne pas être gênés, nous les excluons tout simplement de notre étude. Cela est légitime car ces ensembles ne jouent aucun rôle dans la théorie de Lebesgue.
10.1.2 Fonctions étagées
Definition 10.2 On appelle fonction étagée toute fonction définie par une combinaison linéaire de fonctions élémentaires ou indicatrices.
Ainsi, \(f\) est étagée si il existe des ensembles mesurables \(A_{i}\) et des scalaires \(\alpha_{i}\) tel que \[f(x) = \sum_{i=1}^{n} \alpha_{i}{{\mathbb{1}}_{A_{i}}}.\]
Theorem 10.1 Les fonctions étagées sont denses dans l’ensemble des fonctions mesurables.
Autrement dit, les fonctions mesurables peuvent être considérées comme des limites simples de fonctions étagées.
Preuve du théorème [th:etage] – Soit \(f\) une fonction mesurable sur \(E\), sans perte de généralités, on suppose que \(f\geq0\).
On définit alors les ensembles mesurables, pour \(n\in \mathbb{N^{*}}\) et \(i=1,2,3,\dots, n2^{n}\): \[\begin{array}[c]{rl} E_{ni} &= \{ x \in E \quad / \quad (i-1) 2^{-n} \geq f(x) \geq i 2^{-n} \} \\ F_{n} &= \{ x \in E \quad / \quad f(x) \geq n \}. \end{array}\] Nous construisons alors la suite de fonctions de fonctions étagées \[f_{n} = \sum_{i=1}^{n2^{n}}(i-1)2^{-n} {{\mathbb{1}}_{E_{ni}}} + n{{\mathbb{1}}_{F_{n}}}.\] Il est facile de voir que pour tout \(n\) \[f_{n}\geq f_{n+1} \geq \dots \geq f\] et que par construction, pour tout \(x\in E\) \[\lim_{n\rightarrow \infty}f_{n}(x) = f(x)\quad \Box\] Remarquons que dans la démonstration, la convergence est uniforme si \(f\) est bornée.
10.1.3 Intégrale d’une fonction étagée
Definition 10.3 Soit \(\varphi\) une fonction étagée : \[\varphi(x) = \sum_{i=1}^{n} \alpha_{i}{{\mathbb{1}}_{A_{i}}}(x).\] Si \(\omega\) est un ensemble mesurable, alors \[I_{\Omega}(\varphi)= \sum_{i=1}^{n} \alpha_{i}{{\mathtt{m}}}{(A_{i} \cap \Omega)}\] est l’intégrale de \(\varphi\) sur \(\Omega\).
10.1.4 Intégrale de Lebesgue d’une fonction mesurable
La définition [def:int1] induit la définition de l’intégrale de Lebesgue
Definition 10.4 Soit \(f\) une fonction mesurable sur \(E\) positive et soit \(\Omega\) une partie mesurable de \(E\).
L’intégrale de Lebesgue de \(f\) sur \(\Omega\) est la borne supérieure des intégrales sur \(\Omega\) des \(\varphi\), fonctions étagées positives majorées par \(f\): \[\int_{\Omega}f = \sup_{\varphi} I_{\Omega}(\varphi)\]
On note indifféremment : \[\int_{\Omega}f = \int_{\Omega}f(x)dx\] où \(x\) joue le rôle d’une variable muette.
Proposition 10.1 Soit \(f\) fonction mesurable sur \(E\) positive et soit \(\Omega\) une partie mesurable de \(E\). Si \(f_{n}\) désigne la suite de fonctions positives étagées introduite dans la démonstration du théorème [th:etage], alors \[\int_{\Omega}f = \lim_{n\rightarrow \infty} I_{\Omega}(f_{n}).\]
Ainsi définie, l’intégrale peut tout à fait prendre une valeur infinie.
Pour une fonction mesurable \(f\) désignons par \(f^{+}\) et \(f^{-}\) deux fonctions mesurables et positives qui sont respectivement ses parties positive et négatives: \[\begin{array}[c]{ll} f^{+}(x) &= \left|{f(x)}\right| {{\mathbb{1}}_{E^{+}}}(x)\\ f^{-}(x) &= \left|{f(x)}\right| {{\mathbb{1}}_{E^{-}}}(x) \end{array}\] où \[\begin{array}[c]{ll} E^{+} &= \{ x\in E \quad / \quad f(x) \geq 0\} \\ E^{-} &= \{ x\in E \quad / \quad f(x) \leq 0\}. \end{array}\] Si bien que pour tout \(x\in E\) \[f(x)= f^{+}(x) - f^{-}(x).\] Cette décomposition permet de définir l’intégrale (de Lebesgue) pour toute fonction mesurable :
Definition 10.5 Soit \(f\) une fonction mesurable sur \(E\), alors pour tout \(\Omega\subset E\) mesurable, on définit \[\int_{\Omega}f = \int_{\Omega}f^{+} - \int_{\Omega}f^{-}.\]
Definition 10.6 On dit qu’une fonction mesurable \(f\) est Lebesgue intégrable ou sommable sur \(E\) si \[\int_{E} \left|{f}\right| < + \infty .\] On note par \(\mathscr{L}^{1}(E)\) l’ensemble des fonctions Lebesgue-intégrable sur \(E\).
Le résultat suivant est fondamental :
Theorem 10.2 L’intégrale sur \(\Omega\) d’une fonction positive \(f\) est nulle si et seulement si \(f\) est nulle presque partout sur \(\Omega\) : \[\int_{\Omega}\left|{f}\right| = 0 \Longleftrightarrow f=0\; \text{p.p. sur } \Omega .\]
10.2 Théorèmes de Lebesgue
10.2.1 Théorème de convergence monotone
Theorem 10.3 Soient \(f_{1},\dots,f_{n},\dots\) des fonctions mesurables positives sur \(E\) telles que \[0 \leq f_{1} \leq \dots \leq f_{n} \leq f_{n+1} \leq \dots\] Posons \[f(x) = \sup_{n} f_{n} (x).\] Alors \[\int_{E} f_{n} \longrightarrow \int_{E} f .\]
Preuve du théorème 1.2.1 : Posons \[\alpha_{n} = \int_{E} f_{n}.\] Alors, puisque la suite \(f_{n}\) est croissante, les \(\alpha_{n}\) convergent vers une limite \[\alpha_{n} \longrightarrow \alpha\in [0,+\infty].\]
Par définition \(f\) domine les \(f_{n}\), ainsi \[\alpha \leq \int_{E} f .\] Soit \(\varphi\) une fonction étagée positive et dominée par \(f\) et soit \(0<a<1\). Si on pose \[E_{n} = \{ x \in E \quad / \quad f_{n} (x) \geq a \varphi(x) \},\] il est clair que \(E_{n}\subset E_{n+1}\) et \(E =\cup_{n}E_n\).
D’où pour tout \(n\), \[\int_{E} f_{n}\geq \int_{E_{n}} f_{n} \geq a \int_{E_n} \varphi .\] Autrement dit, pour tout \(\varphi\) dominé par \(f\) et pour tout \(0<a<1\), \[\alpha \geq \lim_{n\rightarrow \infty}\int_{E} f_{n}\geq a \int_{E} \varphi
\quad \Longrightarrow \quad
\alpha \geq \int_{E} \varphi
\quad \Longrightarrow \quad
\alpha \geq \sup_{\varphi}I_{E}(\varphi) = \int_{E} f.\] Si bien qu’on a montré que \[\alpha=\int_{E} f. \quad \Box\]
10.2.2 Lemme de Fatou
Une conséquence du théorème de convergence monotone 1.2.1 est le
Lemma 10.1 Soient \(f_{n}\) des fonctions mesurables sur \(E\) et positives. Si \[f(x) = \lim_{n\rightarrow \infty} \inf f_{n}(x) = \lim_{n\rightarrow \infty} \inf_{i\geq n}\{f_{i}(x)\},\] alors \[\int_{E}f \leq \lim_{n\rightarrow \infty}\int_{E} \inf f_{n}.\]
Preuve du lemme de Fatou : Posons \[g_{n}(x)= \inf_{i\geq n}\{f_{i}(x)\}.\] Par définition, \[0 \leq g_{1}(x)\leq g_{2}(x) \leq \dots \leq g_{n}(x).\] Alors, d’après le théorème 1.2.1 de convergence monotone, \[\begin{aligned} \int_{E} f(x)dx &= \lim_{n\rightarrow \infty}\int_{E} g_{n}(x)dx\\ &= \lim_{n\rightarrow \infty}\int_{E} \inf_{i\geq n}\{f_{i}(x)\}dx \\ &\leq \lim_{n\rightarrow \infty}\inf_{i\geq n}\int_{E}f_{n}(x)dx. \quad \Box \end{aligned}\]
10.2.3 Théorème de convergence dominée
Theorem 10.4 Soient \(f_{n}\in\mathscr{L}^{1}(E)\), une suite de fonctions sommable sur \(E\) telles que
\(f_{n}(x) \longrightarrow f(x)\) p.p. sur \(E\)
\(\left|{f_{n}}\right| \leq g \in \mathscr{L}^{1}(E)\)
Alors \(f\in \mathcal{L}^{1}(E)\) et \[\lim_{n\rightarrow \infty}\int_{E} f_{n}(x)dx = \int_{E} f(x)dx.\]
C’est le résultat central de la théorie de Lebesgue. Il en découle tous les théorèmes de passage à la limite.
Son avantage par rapport à la théorie classique de Riemann, c’est son énoncé valable pour tout type de domaine \(E\) pourvu qu’il soit mesurable. Son application est aisé puisqu’il ne demande qu’une domination.
De plus, c’est un résultat optimal
Preuve du théorème 1.2.3 de convergence dominée :
Puisque \(\left|{f_{n}}\right| \leq g \in \mathcal{L}^{1}(E)\) cela signifie que \(f \leq g\) et donc que \(f\in \mathcal{L}^{1}(E)\).
D’autre part, puisque \(f_{n}+ g \geq 0\), le lemme de fatou [lem:fatou] indique \[\int_{E} f+g \leq \lim_{n\rightarrow\infty} \inf\int_{E}f_{n}+g.\] Ce qui implique, en retranchant \(g\) : \[\int_{E} f\leq \lim_{n\rightarrow\infty} \inf\int_{E}f_{n}.\] Mais on a également que \(g- f_{n} \geq 0\) si bien que \[\int_{E} g-f \leq \lim_{n\rightarrow\infty} \inf\int_{E}g-f_{n},\] qui entraîne, toujours en retranchant \(g\) : \[\int_{E} -f \leq \lim_{n\rightarrow\infty} \inf\int_{E}-f_{n}\] D’où \[\int_{E} f \geq \lim_{n\rightarrow\infty} \sup\int_{E}f_{n}.\] En conclusion, on a montré que \[\lim_{n\rightarrow\infty} \sup\int_{E}f_{n} \leq \lim_{n\rightarrow\infty} \inf\int_{E}f_{n}\] Cela prouve que la limite existe et que cette limite vaut \[\lim_{n\rightarrow \infty}\int_{E} f_{n}(x)dx = \int_{E} f(x)dx. \quad \Box\]
10.2.4 Théorème de dérivation sous le signe intégral
Theorem 10.5 Soit \(f(x,y)\) une fonction mesurable et dérivable par rapport à \(y\) pour presque tout \(x\in E\), telle que cette dérivée partielle est mesurable dans \(E\). Si \[\left|{\frac{\partial{f(x,y)}}{\partial{y}}}\right|\leq g\in \mathcal{L}^{1}(E),\] alors \[\frac{\partial{}}{\partial{y}}\int_{E}f(x,y)dx =\int_{E} \frac{\partial{f(x,y)}}{\partial{y}}dx .\]
10.2.5 Théorème de Fubini
Theorem 10.6 Soit \(f\) une fonction mesurable dans le domaine \(\Omega_{x}\times \Omega_{y}\). Si \(0\geq f< +\infty\) , et si \[\varphi(x)= \int_{\Omega_{y}}f(x,y)dy \quad \psi(y)= \int_{\Omega_{x}}f(x,y)dx\] alors \(\varphi\) et \(\psi\) sont mesurables et \[\int_{\Omega_{x}}\varphi(x) dx = \int_{\Omega_{y}} \psi(y) dy = \iint_{ \Omega_{x}\times \Omega_{y}} f(x,y)dxdy\]
Theorem 10.7 Formule de Jacobi \[\int_{\Omega}f(x)dx = \int_{D}f(T(u))\left|{J_{T}(u)}\right|du\]
où \(\left|{J_{T}(u)}\right|\) est la Jacobienne (déterminant du gradient ou Jacobien) de l’application \(T(u)=x\).
10.3 Espaces \(\mathbb{L}^{1}\) et \(\mathbb{L}^{2}\)
On note \(\mathbb{L}^{1}\) l’espace \(\mathscr{L}^{1}\) pour lequel on a identifié toutes fonctions égales presque partout : Deux fonctions \(f\) et \(g\) sont égales dans \(\mathbb{L}^{1}\), si elles sont égales presque partout. On dit que \(\mathbb{L}^{1}\) est l’espace \(\mathscr{L}^{1}\) quotientée par la relation d’équivalence “égales presque partout”.
Ainsi, dans \(\mathbb{L}^{1}(\Omega)\), l’application \[f \longrightarrow \int_{\Omega}\left|{f}\right|\] est une norme.
On notera la norme \(\mathbb{L}^{1}\) : \[{\|{f}\|}_{\mathbb{L}^{1}} = \int_{Omega}\left|{f}\right|\]
Theorem 10.8 Muni de sa norme naturelle, l’espace \(\mathbb{L}^{1}(\Omega)\) est complet. On dit que c’est un espace de Banach.
En mécanique, un espace fonctionnelle est particulièrement important: l’espace des fonctions de carré intégrable : \[\mathscr{L}^{2}(\Omega)=\left\{ f \text{ mesurable sur }\Omega \;/\; \int_{\Omega} \left|{f}\right|^{2} < \infty\right\}.\] L’espace quotient est notée de manière analogue par \(\mathbb{L}^{2}(\Omega)\). On parle également d’espace d’énergie finie.
L’espace \(\mathbb{L}^{2}(\Omega)\) est muni d’un produit scalaire \[(f,g) = \int_{\Omega}f\overline{g}\] définissant une norme \[{\|{f}\|}_{\mathbb{L}^{f}} =(f,f)^{1/2} \left( \int_{Omega}\left|{f}\right|^{2} \right)^{1/2}.\]
Theorem 10.9 Muni de son produit scalaire induisant sa norme naturelle, l’espace \(\mathbb{L}^{2}(\Omega)\) est complet. autrement dit, c’est un espace de Hilbert.
Les espaces de Sobolev dérivent de \(\mathbb{L}^{2}(\Omega)\) et constituent le cadre mathématique des formulations variationnelles ou principe des puissance virtuelles en mécanique.
On parle également de fonctions caractéristiques mais nous ne recommandons pas cette appellation↩︎