11 Transformation de Fourier des fonctions

11.1 Préliminaires

11.1.1 Quelques intégrales utiles

Commençons par des valeurs remarquables (obtenues facilement en appliquant le théorème de Fubini au carré des intégrales recherchées): $$ \[\begin{aligned} \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx &= &\sqrt{\pi}. \\ \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{x^2}2}dx& = &\sqrt{2\pi}. \\ \int_{\mathbb R^n}e^{-\frac{|x|^2}2}dx &= &(2\pi)^{\frac{n}2}. \end{aligned}\]

11.1.2 Espace $\mathscr S(\mathbb R^n)$

Definition 11.1 $\mathscr S(\mathbb R^n)$ est l’ensemble des fonctions $f\in\mathscr C^\infty(\mathbb R^n)$ telles que $\forall \alpha\in \mathbb{N}^n$, $\forall k\in\mathbb{N}$ \[\lim_{|x|\rightarrow\infty} |x|^k|D_\alpha f(x)|=0\]

où on note $|x|=\sqrt{\sum_i x_i^2}$, $\alpha=(\alpha_1 , \dots, \alpha_n )$ et \[D_\alpha f(x)= \frac{\partial^{\left|{\alpha}\right|}f} {\partial x_1^{\alpha_1} \dots \partial x_n^{\alpha_n}}\] On appelle $\mathscr S(\mathbb R^n)$ l’ensemble des fonctions à décroissance rapide sur $\mathbb R^n$. On l’appelle également espace de Schwarz. C’est un espace vectoriel.

Exemple

$\mathscr D(\mathbb R^n)\subset\mathscr S$, noté également par $\mathscr C^\infty_{0}(\mathbb R^n)$.
$e^{-x^2}\in\mathscr S(\mathbb R)$.
$e^{-|x|}$ n’est pas dans $\mathscr S$ (non différentiable en $0$).

Nous avons les définitions équivalentes :

Proposition 11.1 $\mathscr S$ est l’ensemble des fonctions $f$ définies sur $\mathbb R^n$ telles que

$\forall\alpha$, $\forall\beta$, $\lim_{|x|\rightarrow\infty} |x^\beta \partial\alpha f(x)|=0\quad (\text{si } \beta = (\beta_1,\dots,\beta_n)\text{ on pose } x^\beta = x_1^{\beta_1}\cdots x_n^{\beta_n})$.
$\forall\alpha$, $\forall k$, $|x|^k|\partial\alpha f(x)|$ soit bornée.
$\forall\alpha$, $\forall\beta$, $|x^\beta \partial\alpha f(x)|$ soit bornée.
$\forall\alpha$, $\forall k$, $|x|^k|\partial\alpha f(x)|$ soit Lebesgue-intégrable.
$\forall\alpha$, $\forall\beta$, $|x^\beta \partial\alpha f(x)|$ soit intégrable.

Theorem 11.1 $\mathscr S$ est dense dans $\mathbb{L}^{1}$ et dans $\mathbb{L}^{2}$.

Voir les suites régularisantes.

11.1.3 Produit de convolution

Soit $f$ et $g$ deux fonctions de $\mathbb{L}^{1}(\mathbb{R}^{n})$, alors Le produit de convolution de $f$ et $g$ est la fonction \[f*g(x)= \int_{\mathbb{R}^{n}}f(x-y)g(y)dy.\] Les principales propiétés du produit de convolution sont :

Le produit est commutatif
L’effet de régularisation : si $D_{\alpha}f$ est définie et appartient à $\mathbb{L}^{1}(\mathbb{R}^{n})$, alors \[D_{\alpha}(f*g)(x)= D_{\alpha}f * g(x)\]

11.1.4 Suites régularisantes

Soit la fonction $\rho$ de classe $C^{\infty}$ à support compact : \[\rho(x)= \left\{ \begin{array}[l]{ll} e^{\frac{-1}{1-\left|{x}\right|^2}} & \left|{x}\right|\leq 1\\ 0 & \left|{x}\right|\geq 1 \end{array}\right.\] Alors la suite $\rho_m(x)=\rho(mx)$ est une suite régularisante au sens que si $f\in \mathbb{L}^{1}(\mathbb{R}^n)$ (resp. $\mathbb{L}^{2}$) alors, $f_m=f*\rho_m$ est dans $\cal S$ est converge vers $f$ dans $\mathbb{L}^{1}$ (resp. dans $\mathbb{L}^{2}$).

11.2 Transformation de Fourier

Definition 11.2 Pour $f\in \mathbb{L}^{1}(\mathbb{R}^n)$ et ${y}\in\mathbb R^n$ on pose \[\hat f({y}) = \int_{\mathbb{R}^{n}} e^{-ix.y}f(x)dx. % \\ % & & \text{ou encore :} % \\ % \hat f({y}_1,\dots,{y}_n) & = & \int e^{-i(x_1{y}_1+\cdots+x_n{y}_n)} % f(x_1,\dots,x_n)dx_1\cdots dx_n\]

$\hat f$, notée aussi $\mathscr F f$, s’appelle la transformée de Fourier de $f$. Elle existe car $|e^{-ix.y}f(x)|<|f(x)|$ et $f\in \mathbb{L}^{1}$.

Theorem 11.2 Soit $f\in \mathbb{L}^{1}$, sa transformée de Fourier $\hat f$ est continue, bornée et tend vers $0$ a l’infini.

Remarque

Pour une fonction $f$ quelconque dans $\mathbb{L}^{1}$, $\hat f$ n’est pas nécessairement dans $\mathbb{L}^{1}$

Lemma 11.1 La transformation de Fourier est “invariante” pour $f(x)= e^{-\frac{|x|^2}2}$ : \[\mathscr F \left(e^{-\frac{|x|^2}2}\right)({y})= (2\pi)^{\frac{n}2}e^{-\frac{|{y}|^2}2}.\]

Theorem 11.3

Pour toute fonction $f\in\mathscr S$ et $\hat f\in\mathscr S$ et nous avons les relations: $$ \[\begin{aligned} \widehat{x^\alpha f}& = &(i)^{|\alpha|}\partial\alpha\hat f({y})\label{eq:P-F1}\\ \widehat{\partial\alpha f}& = &(i{y})^{\alpha}\hat f \label{eq:P-F2}\\ \int\psi({y}) \hat f({y})d{y} &= &\int\hat\psi(y)f(y)dy \label{eq:P-F3} \label{eq:P-F4} \end{aligned}\]

La transformation de Fourier a donc la propriété fondamentale d’échanger les multiplications et les dérivations. Les propriétés précédentes restent valables tant qu’elles ont un sens.

Nous avons le formule d’inversion :

Theorem 11.4 Si $f\in\mathbb{L}^{1}$ et $\hat{f}\in\mathbb{L}^{1}$, alors \[f(x) = (2\pi)^{-n}\int_{\mathbb{R}^{n}}e^{ix.y}\hat f({y}) d{y}\]

Remarque

si $f\in\mathbb{L}^{1}$ et $\hat{f}\in\mathbb{L}^{1}$ , \[\Hat{\Hat f}(x) = (2\pi)^n\check f(x)= (2\pi)^n f(-x).\]

Corollary 11.1 Formule de Parseval – Si $\theta\in\mathscr S$, $\psi\in \mathbb{L}^{1}$, \[\int\psi\hat\theta = (2\pi)^{-n}\int\hat\psi\overline{\hat\theta}\]

Corollary 11.2 Formule de Plancherel – si $\psi\in\mathscr S$, alors \[\int|\psi|^2=(2\pi)^{-n}\int |\psi|^2\]

Theorem 11.5 Si $f\in\mathbb{L}^{1}$ et $\hat f=0$, alors $f=0$.

Autrement dit La transformation de Fourier est une application injective dans $\mathbb{L}^{1}$.

Remarque

Soit $i$ l’injection de $\mathscr S$ dans $\mathbb{L}^{2}$; d’après la formule de Plancherel, si $f\in\mathscr S$, $\|i\circ\mathscr Ff\|_2=(2\pi)^{\frac{n}2}\|f\|_2$ (norme de $\mathbb{L}^{2}$), $i\circ\mathscr F$ peut donc s’interpréter comme une application linéaire continue de $\mathscr S$ muni de la topologie de $\mathbb{L}^{2}$ dans $\mathbb{L}^{2}$. Alors, d’après un théorème de Banach, comme $\mathscr S$ est dense dans $\mathbb{L}^{2}$, $i\circ\mathscr F$ admet donc un prolongement continu linéaire unique à $\mathbb{L}^{2}$, noté provisoirement $\widetilde{\mathscr F}: \mathbb{L}^{2}\rightarrow \mathbb{L}^{2}$, dit transformation de Fourier dans $\mathbb{L}^{2}$. On a donc pour toute suite $(f_\nu)$ dans $\mathscr S$ convergente vers $f$ dans $\mathbb{L}^{2}$ \[\widetilde{\mathscr F}f({y})=\lim_{\nu\rightarrow+\infty} \int e^{-ix.y}f_\nu(x)dx\quad\]

[on pourra par exemple prendre les $(f_\nu)$ dans $\mathscr D(\mathbb R^n)$, ou même la suite régularisée par convolution].

Remarque

Pour $f\in \mathbb{L}^{2}$, on n’a pas $\widetilde{\mathscr F}f({y})=\int e^{-ix.y} f(x) dx$, en général.

Proposition 11.2 $\widetilde{\mathscr F}$ est bijective de $\mathbb{L}^{2}$ sur $\mathbb{L}^{2}$.

Par suite, on note abusivement, pour toute fonctions de $\mathbb{L}^{2}$, \[\widetilde{\mathscr F}=\hat f.\]

Theorem 11.6 La transformation de Fourier est un automorphisme topologique de $\mathscr S$.

11.3 Rapports avec la convolution

Proposition 11.3 Si $f\in \mathbb{L}^{1}$ et $g\in \mathbb{L}^{2}$, $\widehat{f\ast g} =\hat f\hat g$

Corollary 11.3 $\quad$

$f$ et $g\in\mathscr S$, $f\ast g\in\mathscr S$ : \[\begin{aligned} f,g \in\mathscr S &\Rightarrow\hat f,\hat g\in\mathscr S\\ &\Rightarrow \hat f\hat g\in\mathscr S \\ &\Rightarrow\mathscr F^{-1}(\hat f\hat g)=f\ast g\in\mathscr S \end{aligned}\] $\mathscr S$ est une algèbre pour la convolution.
$f,g\in\mathscr S$, $\widehat{fg}=(2\pi)^{-n} \hat f \ast \hat g$
il suffit de montrer l’égalité de leurs transformées de Fourier, or \[\begin{aligned} \widehat{\widehat{fg}} &=(2\pi)^n\overset{\curlyvee}{(fg)}\\ &=(2\pi)^n\check f\check g\\ &= (2\pi)^{-n}\Hat{\Hat f}\Hat{\Hat g}\\ &=(2\pi)^{-n}\widehat{\hat f\ast\hat g}.\end{aligned}\] la transformation de Fourier dans $\mathscr S$ échange multiplication et convolution.

11.4 Exemples

Calculer les transformées de Fourier des fonctions définies sur $\mathbb{R}$ suivantes :

$f_1 (x)= H(x) e^{-ax}$
$f_2 (x)= \mathbb{1}_{[-a,a]}$
$f_5 (x)= H(x) x^k e^{-ax}$
$f_6 (x)= H(x)$

où $H(x)$ est la fonction de Heaviside : \[H(x)=\left\{ \begin{array}[l]{ll} 1 & x \geq 0\\ 0 & x <0 \end{array}\right.\]

11.1 Préliminaires

11.1.1 Quelques intégrales utiles

11.1.2 Espace \(\mathscr S(\mathbb R^n)\)

11.1.3 Produit de convolution

11.1.4 Suites régularisantes

11.2 Transformation de Fourier

11.3 Rapports avec la convolution

11.4 Exemples