7 Fonction d’une variable complexe
7.1 Nombres Complexes
Definition 7.1 On peut définir l’ensemble des nombres complexes par \[\mathbb{C}= \{ (a,b)\in \mathbb{R}^{2} \text{ muni des somme et multiplication complexes} \}.\] On pose \(i=(0,1)\) et on note \(z=(a,b)= a +i b\), \(a\) désigne alors la partie réelle et \(b\) désigne la partie imaginaire de \(z\).
Definition 7.2 Les somme et multiplication complexes sont définies, pour \(z=a+ib\) et \(z^{\prime}=a^{\prime}+ib^{\prime}\), par :
\(z + z^{\prime} = (a,b)+(a^{\prime},b^{\prime}) = (a+a^{\prime},b+b^{\prime})\).
\(z z^{\prime} = (a a^{\prime} - b b^{\prime}, a b^{\prime} +a^{\prime} b )\).
Par exemple pour \(z=(0,1)=i\) on a \(z^{2}=zz=(0,1)(0,1)=(-1,0)= -1\).
Ainsi, à chaque point du plan de \(\mathbb{R}^{2}\) on fait correspondre un unique nombre complexe; C’est pourquoi on parle de plan complexe.
Proposition 7.1 Pour tout nombre complexe \(z\) et \(z^{\prime}\), on a
\(\overline{z+z^{\prime}}= \overline{z}+\overline{z^{\prime}}\)
\(\overline{zz^{\prime}}=\overline{z}\overline{z^{\prime}}\)
\(z+\overline{z}= 2\text{Re}({z})\) et \(z-\overline{z}= 2i\text{Im}({z})\)
\(z\overline{z}\) est réel et si \(z\neq 0\), \(z\overline{z}>0\)
Definition 7.3 On appelle module de \(z\) le nombre réel positif \(\left|{z}\right|=(z\overline{z})^{1/2}\).
Proposition 7.2 Soit \(z\) un nombre complexe non nul alors \[\frac{1}{z}= \frac{\overline{z}}{\left|{z}\right|^{2}}\]
Proposition 7.3 Soit \(z\) un nombre complexe
\(\left|{\overline{z}}\right|=\left|{z}\right|\)
\(\left|{zz^{\prime}}\right|=\left|{z}\right|\left|{z^{\prime}}\right|\)
\(\left|{\text{Re}({z})}\right|\leq \left|{z}\right|\) et \(\left|{\text{Im}({z})}\right|\leq \left|{z}\right|\)
\(\left|{z+z^{\prime}}\right|\leq \left|{z}\right|+ \left|{z^{\prime}}\right|\)
Proposition 7.4 Soient \(a_{1},\dots,a_{n}\) et \(b_{1},\dots,b_{n}\) des nombres complexes. \[\left| \sum_{j=1}^{n}a_{j}\overline{b_{j}}\right|^{2} \leq \sum_{j=1}^{n}\left|{a_{j}}\right|^{2}\sum_{j=1}^{n}\left|{b{j}}\right|^{2} \quad \text{(inégalité de Schwarz)}\]
Nous terminons cette présentation par les propriétés principales de \(\mathbb{C}\) :
Theorem 7.1 L’ensemble des nombres complexes, avec ses addition et multiplication complexes, possède une structure de corps. On parle de corps des nombres complexes.
Theorem 7.2 Le corps des nombres complexes est algébriquement clos.
Autrement dit, les solutions de toute équation algébrique à coefficients complexes sont encore des nombres complexes. Par exemple, le corps des réels \(\mathbb{R}\) n’est pas algébriquement clos puisque l’équation \(x^{2} +1 = 0\) ne possède pas de solutions réelles mais des solutions complexes.
Theorem 7.3 Soit \(P(z)= \sum_{0}^{n}a_{i}z^{i}\) un polynôme de degré \(n\) à coefficients complexes. Alors \(P\) se factorise \[P(z) = a_{n}\prod_{1}^{n}(z-r_{i})\] où les \(r_{i}\) sont les \(n\) racines de \(P\) (comptées avec leurs multiplicités).
7.2 Fonctions holomorphes
7.2.1 Fonctions holomorphes
Soit \(\Omega\) une partie non vide du plan complexe \(\mathbb{C}\). Considérons une fonction \(f\) à valeur complexe définie sur \(\Omega\). Soit \(z_{0}\in \Omega\subset \mathbb{C}\), on sait que \(f\) est différentiable en \(z_{0}\), si il existe un nombre complexe, noté \(f^{\prime}(z_{0})\) tel que : \[f(z_{0}+h)= f(z_{0}) + f^{\prime}(z_{0})h + o(h).\] Bien entendu si un tel nombre existe, il est égal à \[f^{\prime}(z_{0})=\lim_{z\rightarrow z_{0}} \frac{f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}\] C’est la dérivée de \(f\) au point \(z_{0}\).
Pour\(z=(x,y)=x + i y\), introduisons les notations : \[\frac{\partial{f}}{\partial{z}} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial{f}}{\partial{x}} -i\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right), \quad \frac{\partial{f}}{\partial{\overline{z}}} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial{f}}{\partial{x}} +i\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\right).\]
Definition 7.4 Si \(f\) est différentiable dans tout \(\Omega\), alors on dit que \(f\) est holomorphe (ou analytique) dans \(\Omega\) si \[\frac{\partial{f}}{\partial{\overline{z}}}=0 \quad \text{ dans } \Omega.\]
Par exemple, les fonctions analytiques sont évidemment holomorphes dans leurs domaines de convergence, mais aussi la fonction \[f(z)= \frac{1}{z-z_{0}}\] est holomorphe dans \(\mathbb{C}-B(z_{0},\varepsilon)\), ou même dans \(\mathbb{C}-\{z_{0}\}\).
Par contre la fonction \(f(z)=\left|{z}\right|\) n’est pas holomorphe dans aucune partie de \(\mathbb{C}\).
On a les propriétés suivantes :
Proposition 7.5 Si \(f\) et \(g\) sont holomorphes dans \(\Omega\), alors
– \(f+g\),
– \(fg\),
le sont aussi.
Proposition 7.6 Si \(f\) est holomorphe dans \(\Omega\) et \(g\) est holomorphe dans \(f(\Omega)\), alors la fonction composée \((f\circ g)\) est holomorphe dans \(\Omega\) et : \[(f\circ g)^{\prime}=g^{\prime}(f(z_{0}))f^{\prime}(z_{0}).\]
7.2.2 Conditions de Cauchy-Riemann
Theorem 7.4 Soit \(f\) une fonction complexe définie dans \(\Omega\subset\mathbb{C}\), on décompose \(f\) suivant sa partie réelle \(P\) et sa partie imaginaire \(Q\), avec \(z=(x,y)=x + i y\) : \[f(z)= P(x,y)+iQ(x,y).\] \(f\) est une fonction holomorphe si et seulement si \(P\) et \(Q\) satisfont aux conditions de Cauchy-Riemann : \[\frac{\partial{P}}{\partial{x}}=\frac{\partial{Q}}{\partial{y}} \quad et \quad \frac{\partial{P}}{\partial{y}}=-\frac{\partial{Q}}{\partial{x}}.\]
Corollary 7.1 Si \(f = P + i Q\) est holomorphe, alors les fonctions réelles \(P\) et \(Q\) sont nécessairement harmoniques.
Terminons par cette question que nous laissons au lecteur :
Existe-t-il une fonction définie sur une variable complexe qui soit différentiable mais pas holomorphe ?
7.3 Suite et Séries de nombres complexes
Considérons la série \[f(z)=\sum_{0}^{\infty}a_{n}z^{n}\] où \(z\in\mathbb{C}\) et \(a_{n}\in \mathbb{C}\). On définit le rayon de convergence \(R\) de la série \(f(z)\) par : \[\begin{aligned} \frac{1}{R} &= \lim_{n\rightarrow \infty}\sup{\left|{a_{n}}\right|^{1/n}} \quad \text{(règle de Cauchy)} \\ &= \lim_{n\rightarrow \infty}\sup{\left|{\frac{a_{n}}{a_{n-1}}}\right|} \quad \text{(règle de d'Alembert).} \end{aligned}\] C’est à dire que la série diverge si \(\left|{z}\right|>R\) et elle converge si \(\left|{z}\right|<R\). Le cas \(\left|{z}\right|=R\) étant sujet à discussion.
Par ailleurs, cette convergence est normale et donc uniforme dans tout disque centré de rayon \(R^{\prime}<R\). Alors, d’après les théorèmes d’inversion des limites vus en premier cycle, on a
Proposition 7.7 \(\forall z\), \(\left|{z}\right|<R\), la fonction d’une variable complexe \(f(z)\) est continue, infiniment \(\mathbb{C}\)-dérivable, les dérivées s’obtenant en dérivant dans chaque terme de la série : \[f^{(k)}(z)= \sum_{0}^{\infty}\frac{(n+k)!}{(n)!}a_{n+k}z^{n}\]
On dit que \(f(z)\) est analytique dans \(\{z\in\mathbb{C}/ \left|{z}\right|<R\}\). Si \(f(z)\) est analytique dans \(\mathbb{C}\), on dit que \(f\) est entière.
7.4 Divers
A compléter : théormes des zéros isolés, principe du maximum, théorème d’Abel...
7.4.1 Fonctions exponentielle et trigonométrique
La fonction exponentielle est définie par \[e^{z}=\sum_{0}^{\infty}\frac{z^{n}}{n!}\] dont le rayon de convergence est infinie.
En dérivant terme à terme, on a la propriété fondamentale :
Proposition 7.8 \[\frac{d}{dz}e^{z}= e^{z}\]
d’où on déduit, en écrivant le développement en série de Taylor de la série en \(z\) : \[\begin{array}[c]{lll} e^{z+ z^{\prime}} &= e^{z} e^{z^{\prime}} &\forall z,z^{\prime}\in \mathbb{C}. \end{array}\] Par ailleurs, on remarque que pour \(z=i\theta\), \(\theta \in \mathbb{R}\) on a \[e^{i\theta}=\sum_{0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}\theta^{2n+1} + i \sum_{0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}z^{2n},\] c’est à dire la formule d’Euler : \[e^{i\theta} = \cos{\theta} + i \sin{\theta}.\] On déduit que \[\left|{e^{i\theta}}\right| = 1\quad \forall \theta \in \mathbb{R}.\]
Proposition 7.9 Tout nombre complexe \(z =a +ib\) peut s’écrire sous la forme \[z= re^{i\theta}\quad r\in \mathbb{R}^{+}, \theta \in [0,2\pi [\]
où \(r^{2}= a^{2} + b^{2}\) est le module de \(z\) et \(\theta=Arctan(b/a)\) est l’argument de \(z\). Par suite, la fonction exponentielle est périodique de période \(2\pi\).
On peut définir les fonctions \(\sin{}\) et \(\cos{}\) d’une variable complexe \[\sin{z} =\sum_{0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}z^{2n} \quad \cos{z}=\sum_{0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}z^{2n+1}.\] Remarquons qu’on a toujours \[(\sin{z})^{2} + (\cos{z})^{2}= 1.\]